Basiswissen

Beispiel-Rechnung

• Man hat zwei Vektoren gegeben.
  

• Beispiel: Vektor A=(3|4|0) und Vektor B(5|12|0)
  

• Zur Definition siehe auch Winkel zwischen Vektoren ↗
  

Formel

• alpha = arccos [(a·b)/(|a|·|b|)]
  

Legende

• alpha = der gesuchte Winkel
  

• a·b = von a und b das Skalarprodukt ↗
  

• |a| = die Länge des Vektors a, also der Vektorbetrag ↗
  

• |b| = die Länge des Vektors a, also der Vektorbetrag ↗
  

Erläuterung

• Man schreibt einen großen Bruchstrich.
  

• Man berechnet dann a·b, das ist das Skalarprodukt ↗
  

• Das gibt im Beispiel: 63
  

• Das Ergebnis wird als Zahlenwert oben auf den Bruchstrich geschrieben (Zähler).
  

• Man berechnet dann für die beiden Vektoren getrennt den Vektorbetrag ↗
  

• Für A ist der Vektorbetrag genau 5, für B ist der Vektorbetrag genau 13.
  

• Die beiden Beträge schreibt man beide in den Nenner des Bruches.
  

• Sie werden dort multipliziert, also mit einem Malpunkt verbunden.
  

• Der gesamte Bruch hat im Beispiel jetzt die Form: 63/(5·13)
  

• Den Wert des Bruches berechnen, gibt etwa: 0,97
  

• Von diesen Wert den Arcuscosinus berechnen (Taschenrechner).
  

• Auf einem Taschenrechner ist das oft Cosinus hoch minus eins ↗
  

• Das Ergebnis ist der kleinere Winkel zwischen den Vektoren
  

• Im Beispiel ist alpha etwa 14°.
  

Beispiele

• Die Vektoren (10|0|0) und (0|4|0) bilden einen Winkel von genau: 90°
  

• Die Vektoren (10|1|1) und (2|9|1) bilden einen Winkel von etwa: 71°
  

• Die Vektoren (10|1|1) und (9|1|1) bilden einen Winkel von etwa: 1°
  

Fußnoten

• Die Ausgangsformel, die oben nach dem Winkel umgestellt wurde, ist beschrieben im Artikel zum Skalarprodukt ↗