Definition

Ein Skalarprodukt, speziell wenn es um komplexe Vektoren geht, heißt positiv definit wenn sein berechneter Zahlenwert am Ende immer entweder eine positive Zahl ergibt und wenn der Vektor mit sich selbst skalar multipliziert nur dann die Zahl 0 ergibt, wenn er selbst der Nullvektor war. Das das Skalarprodukt niemals eine negative Zahl ergeben darf macht genau dann Sinn, wenn man auch bei komplexen Vektoren die Deutung erhalten will, dass die Wurzel aus dem Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst dessen Länge ergibt. Um eine negative Länge zu vermeiden, definiert man das Skalarprodukt für Vektoren mit komplexen Einträgen so, dass es positiv definit ist.

Fußnoten

[1] Im Zusammenhang mit Skalarprodukt mit komplexen Einträgen heißt es: "Das Wort positiv ist wohl selbsterklären. Das Wort definit bedeutet, dass das Skalarprodukt (v,v) nur dann 0 ist, wenn v=0 bilt und umgekehrt. Nur der Nullvektor darf somit die Länge 0 haben." In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004