Komplexes Skalarprodukt

Physik

Definition｜ Berechnung｜ Formel｜ Beispiel｜ Gesucht｜ Vorbereitung｜ Rechenweg｜ Positiv definit｜ Fazit｜ Weitere Beispiele｜ Sonderfall reelles Skalarprodukt｜ Schreibweisen｜ Fußnoten

Definition

Man unterscheidet ein Skalarprodukt bei dem als Ergebnis immer nur eine rein reelle Zahl herauskommt (reelles Skalarprodukt) von einem Skalarprodukt, das als Ergebnis auch komplexe Zahlen erlaubt. Die zweite Variante wird auch als komplexes Skalarprodukt bezeichnet.^[1] Das reelle Skalarprodukt ist ein Sonderfall des allgemeineren komplexen Skalarproduktes.

Berechnung

Bei einem komplexen Skalarprodukt können die Einträge der Vektoren auch komplexe Zahlen sein. Eine komplexe Zahl wie zum Beispiel 4+2i besteht aus einem rein reellen Teil, hier die reelle Zahl 4, und einem Imaginärteil, hier die 2i. Es wird jetzt gezeigt, wie man das komplexe Skalarprodukt aus zwei Vektoren u und v mit komplexen Einträgen berechnet.

Formel

⟨u,v⟩ = u₁*v₁+u₂*v₂

Das Sternchen * steht hier nicht für ein Malzeichen. Es deutet an, dass die komplexen Zahlen u₁ und u₂, also die Einträge des ersten der beiden Vektoren, konjugiert komplex sein sollen.

Beispiel

Der Vektor u sei (4+2i 4-2i)

Der Vektor v sei (5+3i 5-3i)

Gesucht

Das komplexe Skalarprodukt ⟨u,v⟩

Vorbereitung

Man bildet von dem ersten der zwei Vektoren den komplex konjugierten Vektor.

Komplex konjugiert heißt, dass man das Vorzeichen des Imaginärteils aller Einträge ändert.

Aus u wird dann u* = (4-2i 4+2i). Das hochgestellte Sternchen steht für eine konjugiert komplexe Zahl ↗

Rechenweg

Dann berechnet man Skalarprodukt von u* und v so wie man es von der Schulmathematik her kennt: man multipliziert alle entsprechenden Einträge miteinander und bildet am Ende die Summe aller dieser Produkt:

(4-2i 4+2i)·(5+3i 5-3i) | wie in der Schulmathematik

(4-2i)·(5+3i)+(4+2i)·(5-3i) | Klammern auflösen

20+12i-2i5-2i3i + 20-12i+2i5+2i·(-3i) | vereinfachen, mit i²=-1

20+12i-10i+6 + 20-12i+10i+6 | zusammenfassen

40+12 + 0i

52+0i

Positiv definit

Das komplexe Skalarprodukt ist gezielt so definiert, dass es die gewünschte Forderung erfüllt, positiv definit zu sein. Positiv definit heißt, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst niemals negativ wird. Und den Wert 0 nimmt es nur dann an, wenn der Nullvektor mit sich selbst skalar multipliziert wird. Diese Forderung macht es möglich, die Wurzel aus dem Skalarprodukt eins Vektors mit sich selbst weiterhin als Länge des ursprünglichen Vektors zu deuten. Siehe auch positiv definit ↗

Fazit

In diesem Beispiel war das komplexe Skalarprodukt die rein reelle Zahl 52. Das muss aber nicht immer so sein. Beim komplexen Skalarprodukt können immer auch komplexe Zahlen als Ergebnis heraus kommen.

Weitere Beispiele

Bei den Beispielen sind die einzelnen Vektoren in runden Klammern geschrieben. (1+i, 2) ist also der Vektor mit den Einträgen 1+i und 2. Üblicherweise würde man die Einträge senkrecht übereinander schreiben. Hier sind die Einträge nebeneinander geschrieben.^[3]

⟨(1+i, 2), (2−i, 3)⟩ = 10 + i

⟨(i, 1), (1, i)⟩ = 0

⟨(2, i), (−i, 2)⟩ = 4 + 2i

⟨(1−i, 1+i), (1+i, 1−i)⟩ = 4

⟨(3, i), (3i, 1)⟩ = 3 + 3i

Sonderfall reelles Skalarprodukt

Das reelle Skalarprodukt, so wie es aus der Schulmathematik im Zusammenhang mit der Vektorrechnung bekannt ist, ergibt sich direkt aus der Definition des komplexen Skalarproduktes (nicht aber umgekehrt). Da es bei Vektoren mit nur reellen Zahlen keine Imaginärteile gibt, oder der Imaginärteil immer nur 0i ist, bleibt die Konjugation der Einträge des ersten Vektors ohne Folge. Man kann den Schritt formal auch für reelle Vektoren ausführen, er wird aber am Ergebnis nichts ändern.

Gegeben: u = (4 5) und v = (11 12)

Die Einträge sind rein reell.

Rechnung: u·v = 4·11+5·12 = 104 ✔

Man kann dieselbe Rechnung aber auch machen, wenn man die reellen Zahlen als komplexe Zahlen mit dem Imaginärteil 0i schreibt. Dann kann man der allgemeinen Definition des komplexen Skalarprodukts folgen und von dem ersten Vektor die Einträg konjugieren:

Gegeben: u = (4+0i 5+0i) und v = (11+0i 12+0i)

Die Einträge sind jetzt künstlich komplex gemacht.

Einträge des ersten Vektors konjugieren:

u = (4-0i 5-0i) v = (11+0i 12+0i)

Rechnung: u·v gibt:

4·11+40i+0i11+0i0i + 60+5·0i-0i12-0i0i | vereinfachen mit i²=-1

44+40i+0-0 + 60+0-0+0 = 104 ✔

Man sieht an dem Beispiel, dass man Vektoren mit nur reellen Zahlen als Einträgen vor der Skalarmultiplikation erst in Vektoren mit pseudokomplexen Zahlen umwandeln kann. In beiden Fällen wird das Rechenergebnis dasselbe sein. Das reelle Skalarprodukt, auch Standardskalarprodukt genannt, ist ein Sonderfall des komplexen Skalarproduktes.

Schreibweisen

⟨v₁, v₂⟩ ist üblich in der Mathematik

⟨u|v⟩ in der Physik, als sogenannte Dirac-Notation ↗

Fußnoten

[1] "Wir nennen eine Abbildung unitär, wenn sie das komplexe Skalarprodukt erhält." In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004

[2] "Das Skalarprodukt zweier komplexer Vektoren v₁ = (x₁ y₁) und v₂ = (x₂ y₂) kann durch ⟨v₁, v₂⟩ = x₁*·x₂ + y₁*·y₂ berechnet werden." Im Original sind die zwei Vektoren als Spaltenvektoren geschrieben. Der Stern * ist im Original hochgestellt. Er steht für die konjugiert komplexe Zahl. In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Dort auf Seite 5. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004

[3] Die horizontale Schreibweise von Vektoren kommt eher selten vor, ist aber auch in anerkannten Lehrbüchern zu finden. Siehe mehr dazu im Kapitel Vektorschreibweisen ↗