- Der Vektor u sei (4+2i 4-2i)
- Der Vektor v sei (5+3i 5-3i)
Gesucht
- Das komplexe Skalarprodukt ⟨u,v⟩
Vorbereitung
- Man bildet von dem ersten der zwei Vektoren den komplex konjugierten Vektor.
- Komplex konjugiert heißt, dass man das Vorzeichen des Imaginärteils aller Einträge ändert.
Rechenweg
Dann berechnet man Skalarprodukt von u* und v so wie man es von der Schulmathematik her kennt: man multipliziert alle entsprechenden Einträge miteinander und bildet am Ende die Summe aller dieser Produkt:
- (4-2i 4+2i)·(5+3i 5-3i) | wie in der Schulmathematik
- (4-2i)·(5+3i)+(4+2i)·(5-3i) | Klammern auflösen
- 20+12i-2i5-2i3i + 20-12i+2i5+2i·(-3i) | vereinfachen, mit i²=-1
- 20+12i-10i+6 + 20-12i+10i+6 | zusammenfassen
Positiv definit
Das komplexe Skalarprodukt ist gezielt so definiert, dass es die gewünschte Forderung erfüllt, positiv definit zu sein. Positiv definit heißt, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst niemals negativ wird. Und den Wert 0 nimmt es nur dann an, wenn der Nullvektor mit sich selbst skalar multipliziert wird. Diese Forderung macht es möglich, die Wurzel aus dem Skalarprodukt eins Vektors mit sich selbst weiterhin als Länge des ursprünglichen Vektors zu deuten. Siehe auch
👉 👉 positiv definit
Fazit
In diesem Beispiel war das komplexe Skalarprodukt die rein reelle Zahl 52. Das muss aber nicht immer so sein. Beim komplexen Skalarprodukt können immer auch komplexe Zahlen als Ergebnis heraus kommen.
Weitere Beispiele
Bei den Beispielen sind die einzelnen Vektoren in runden Klammern geschrieben. (1+i, 2) ist also der Vektor mit den Einträgen 1+i und 2. Üblicherweise würde man die Einträge senkrecht übereinander schreiben. Hier sind die Einträge nebeneinander geschrieben.
[3]" title="Zur Fußnote (Quellen und Hintergründe) "style="color: black;">
[3]
- ⟨(1+i, 2), (2−i, 3)⟩ = 10 + i
- ⟨(2, i), (−i, 2)⟩ = 4 + 2i
- ⟨(1−i, 1+i), (1+i, 1−i)⟩ = 4
- ⟨(3, i), (3i, 1)⟩ = 3 + 3i
Sonderfall reelles Skalarprodukt
Das reelle Skalarprodukt, so wie es aus der Schulmathematik im Zusammenhang mit der Vektorrechnung bekannt ist, ergibt sich direkt aus der Definition des komplexen Skalarproduktes (nicht aber umgekehrt). Da es bei Vektoren mit nur reellen Zahlen keine Imaginärteile gibt, oder der Imaginärteil immer nur 0i ist, bleibt die Konjugation der Einträge des ersten Vektors ohne Folge. Man kann den Schritt formal auch für reelle Vektoren ausführen, er wird aber am Ergebnis nichts ändern.
- Gegeben: u = (4 5) und v = (11 12)
- Die Einträge sind rein reell.
- Rechnung: u·v = 4·11+5·12 = 104 ✔
Man kann dieselbe Rechnung aber auch machen, wenn man die reellen Zahlen als komplexe Zahlen mit dem Imaginärteil 0i schreibt. Dann kann man der allgemeinen Definition des komplexen Skalarprodukts folgen und von dem ersten Vektor die Einträg konjugieren:
- Gegeben: u = (4+0i 5+0i) und v = (11+0i 12+0i)
- Die Einträge sind jetzt künstlich komplex gemacht.
- 4·11+40i+0i11+0i0i + 60+5·0i-0i12-0i0i | vereinfachen mit i²=-1
- 44+40i+0-0 + 60+0-0+0 = 104 ✔
Man sieht an dem Beispiel, dass man Vektoren mit nur reellen Zahlen als Einträgen vor der Skalarmultiplikation erst in Vektoren mit pseudokomplexen Zahlen umwandeln kann. In beiden Fällen wird das Rechenergebnis dasselbe sein. Das reelle Skalarprodukt, auch Standardskalarprodukt genannt, ist ein Sonderfall des komplexen Skalarproduktes.
Schreibweisen
- ⟨v₁, v₂⟩ ist üblich in der Mathematik
Fußnoten
- [1]">[1] "Wir nennen eine Abbildung unitär, wenn sie das komplexe Skalarprodukt erhält." In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004
- [2]">[2] "Das Skalarprodukt zweier komplexer Vektoren v₁ = (x₁ y₁) und v₂ = (x₂ y₂) kann durch ⟨v₁, v₂⟩ = x₁*·x₂ + y₁*·y₂ berechnet werden." Im Original sind die zwei Vektoren als Spaltenvektoren geschrieben. Der Stern * ist im Original hochgestellt. Er steht für die konjugiert komplexe Zahl. In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Dort auf Seite 5. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004
- [3]">[3] Die horizontale Schreibweise von Vektoren kommt eher selten vor, ist aber auch in anerkannten Lehrbüchern zu finden. Siehe mehr dazu im Kapitel 👉 👉 Vektorschreibweisen
- [4]">[4] In der Physik gedeutet als Wahrscheinlichkeit des Übergangs von einem zu einem anderen Zustand: "the probability
that if one prepares a state |ψ⟩ the chance one finds that one is in a state |i⟩ is ⟨ψ|i⟩²." In: Scott Pratt: Lecture Notes on Quantum Mechanics. PHY 851/852 – 2019/2020. Online:
https://web.pa.msu.edu/people/pratts/phy851/lectures/lectures_full.pdf
