Basiswissen

Üblicherweise bezeichnet das äußere Produkt das Kreuzprodukt zweier Vektoren.^[1] In der Gegenüberstellung von innerem und äußeren Produkt wird es zum Beispiel innerhalb der Quantenphysik aber auch für das sogenannte dyadische Produkt verwendet (etwas anderes).^[2]^[3]

Als Kreuzprodukt

In der Vektorrechnung unterscheidet man ein Skalarprodukt und ein Vektorprodukt. Bei beiden Produketen wird ein Vektor mit einem anderen multipliziert. Den Unterschied macht die Art des Rechenergebnisse: das Ergebnis des Skalarproduktes ist eine reine Zahl. Das Ergebnis eines Vektorprodukts ist ein neuer Vektor. Das Vektorprodukt wird - uneinheitlich - auch als äußeres Produkt^[1] oder als Kreuzprodukt bezeichnet. In diesem Lexikon hier wird das Wort Kreuzprodukt verwendet. Es hat seinem Namen von dem kleinen Kreuz das als Rechenzeichen verwendet wird. Beim Skalarprodukt wird als Rechenzeichen ein einfacher Malpunkt verwendet. Siehe mehr unter Kreuzprodukt ↗

Als dyadisches Produkt

Das dydische Produkt, auch Tensorprodukt genannt, multiplziert zwei Vektoren so, dass als Ergebnis eine Matrix mit mehreren Zeilen und mehreren Spalten entstehen kann. Auch dieses Produkt wird von manchen Autoren als äußeres Produkt bezeichnet.^[2]^[3] Das Multiplikationszeichen ⊗ ist dann ein Kreuz in einem Kreis. Hier wird der Begriff dyadisches Produkt gewählt, um Verwechslungen mit dem Kreuzprodukt, das auch als äußeres Produkt bezeichnet wird, zu vermeiden. Siehe mehr unter dyadisches Produkt ↗

In der Quantenphysik

In der Quantenphysik, speziell in Verbindung mit der sogenannten Dirac-Notation, steht das äußere Produkt |β⟩⟨α|, auch geschrieben (|β⟩)·(⟨α|), im Gegensatz zum sogenannten inneren Produkt ⟨β|α⟩.^[2]

ZITAT:

"Man multipliziere |β⟩ und (a|, in dieser Reihenfolge. Das sich ergebende Produkt (|β⟩)·(⟨α|)=|β⟩⟨α| nennt man äußeres Produkt von |β⟩ und (a|."^[2]

Während das innere Produkt als Ergebnis nur eine Zahl hat, hat das Ergebnis des äußeren Produktes üblicherweise die Form einer Matrix. Siehe dazu mehr unter Äußeres Produkt (Quantenphysik) ↗

Fußnoten

[1] Äußeres Produkt als Vektorprodukt: "Man unterscheidet ein sog. inneres Produkt, das Skalarprodukt, und ein sog. äußeres Produkt, das Vektorprodukt." In: Dirk H. Rischke: Theoretische Physik I: Mathematische Methoden. Vorlesungsskript der Universität Frankfurt. Wintersemester 2022/2023. Dort auf Seite 9.

[2] Let us multiply |β⟩ and (a|, in that order. The resulting product (|β⟩)·(⟨α|)=|β⟩⟨α| is known as the outer product of |β⟩ and (a|. We will emphasize in a moment that |β⟩⟨α| is to be regarded as an operator; hence it is fundamentally different from the inner product ⟨β|α⟩, which is just a number." In: J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company. 1985. ISBN: 0-8053-7501-5. Dort auf Seite 16.

[3] "Um den Gegensatz zum inneren Produkt (Skalarprodukt) zu betonen, wird das dyadische Produkt gelegentlich auch äußeres Produkt genannt, wobei diese Bezeichnung aber nicht eindeutig ist, da sie auch für das Kreuzprodukt und das Dachprodukt verwendet wird." In: der Artikel "Dyadisches Produkt". Wikipedia. Abgerufen am 20. Oktober 2025. Online: https://de.wikipedia.org/wiki/Dyadisches_Produkt

[4] "Als letztes definieren wir noch das 'dyadische Produkt' zweier Vektoren a und b, bezeichnet mit ⊗, als einen Tensor zweiter Stufe T, für den gilt T = a⊗b ⇔ Tᵢⱼ = aᵢbⱼ." Im Original sind die Platzhalter a und b für Vektoren jeweils mit einem Pfeil über dem Buchstaben als Vektoren kenntnlich gemacht. In: Tobias Meng: Rechenmethoden für Lehramt Physik. Vorlesungsskript Wintersemester 2018/19. TU Dresden. Dort im Kapitel "1.4.7 Dyadisches Produkt" auf Seite 18.