Basiswissen

Das innere Produkt ist der verallemeinerte Fall des Skalarproduktes. Während das Wort Skalarprodukt meist nur für Vektoren mit reellen Zahlen als Vektorkoordinaten verwendet wird, deutet das Wort inneres Produkt an, dass als Vektorkoordinaten auch komplexe Zahlen möglich sind. Das innere Produkt von zwei Vektoren a und b mit komplexen Koordinaten bildet man dann dadurch, dass die komplexen Zahlen des ersten, des linken Vektors komplex konjugiert werden.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Das innere Produkt von zwei Kets wird gebildet, indem man erst das erste Ket in ein Bra umwandelt. Für einen Vektor heißt dass, dass er transponiert wird (aus der Spalte wird eine Zeile). Dann wird er noch komplex konjugiert. Das heißt, die Vorzeichen der Imaginärteile von komplexen Zahlen werden geändert. Anschließend rechnet man Zeilenvektor mal Spaltenvektor.☛

Rechenbeispiel

Gegeben

Der Vektor a = (4 + 2i)

Der Vektor b = (2 - 5i)

Gesucht

Das innere Produkt a·b

Rechnung

Erst linken Vektor komplex konjugieren: a* = (4 - 2i)

Dann a*·b rechnen:

(4-2i)·(2-5i) = 8-20i-4i+10i² | Vereinfachen mit i²=-1

8-20i-4i-10 | zusammenfassen

Ergebnis: -2-24i ✔

Eigenschaften

⟨α|α⟩ ≥ 0 positiv definit ↗

⟨β|α⟩ = ⟨α|β⟩*

Dirac-Notation

Die sogenannte Dirac-Notation ist in der Quantenphysik üblich. Hat man zwei Vektoren α und β mit komplexen Zahlen als Koordinaten, so schreibt man das innere Produkt in der Form: ⟨α|β⟩.^[1] Mit diesem Rechenausdruck einher geht, dass der linke Vektor vor der Multiplikation erst komplex konjugiert wird. Siehe mehr unter Dirac-Notation ↗

Fußnoten

[1] "Notice that even though the inner product is, in some sense, analogous to the familiar scalar product a · b, ⟨β|α⟩ must be clearly distinguished from ⟨α|β⟩; the analogous distinction is not needed in real vector space because a·b is equal to b·a." In: J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company. 1985. ISBN: 0-8053-7501-5. Dort auf Seite 13.