Arithmetisches Mittel

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Basiswissen｜ Berechnung｜ Formelzeichen｜ Alltagssprache｜ Deutung als gleichmäßiger Summenbeitrag｜ Deutung als Datenschwerpunkt｜ Rechenbeispiele｜ Die fehlende Wirklichkeit｜ Durchschnitt Null｜ Schwere Außreißer｜ Was ist der Unterschied zum Erwartungswert?｜ Welche Bedeutung hat der Durchschnitt in der Physik?｜ Synonyme｜ Fußnoten

Basiswissen

Das arithmetische Mittel^[1], auch Durchschnitt^[2] oder Mittelwert^[3] genannt, ist anschaulich gesprochen die gefühlte Mitte oder der Schwerpunkt von mehreren Zahlen. Der Mittelwert gehört also immer zu einer Liste von Zahlen. Die Berechnung und Bedeutung sind hier kurz erklärt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Das arithmetische Mittel der Zahlen 1;1;2;7 und 9 ist genau 4. Die 4 wäre auch der Schwerpunkt dieser Zahlen auf eine Waagbalken. © Gunter Heim user Maphry on Wikimedia Commons ☛

Berechnung

Alle Zahlen zusammenaddieren und durch die Anzahl teilen.

Beispiel: 1, 2 und 3: addieren gibt: 6

Durch die Anzahl (hier 3) teilen: gibt 2

Die Zahl 2 ist das arithmetische Mittel von 1, 2 und 3.

Mehr unter 👉 arithmetisches Mittel berechnen

Formelzeichen

Üblich ist ein x mit Querstrich darüber, das 👉 x quer

Verbreitet ist auch ø, das 👉 Durchschnittszeichen

Alltagssprache

Umgangssprachlich üblich sind folgende Wendungen:

Im Schnitt flogen sie in einer Höhe von 10 km.

Im Mittel wogen die Muscheln 24 Gramm.

Der Mittelwert lag bei 210 Sekunden

Deutung als gleichmäßiger Summenbeitrag

Das arithmetische Mittel kann man anschaulich-praktisch deuten als gleichmäßigen Beitrag aller Zahlen zur gemeinsamen Summe. Die Idee ist, dass jede Zahl gleich viel zur gemeinsamen Summe beitragen soll.

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Die Zahlen 2, 5 und 8 haben als gemeinsame Summe die Zahl 15. Wenn nun jede Zahl gleich viel zu dieser Summe beitragen sollte, wäre jede Zahl 5 groß.

Wenn man vier kleine Hühner wiegt könnte das Ergebnis zum Beispiel sein: 200 Gramm, 300 Gramm 700 Gramm und 400 Gramm. In Summe bringen die vier Hühner also 1600 oder 1,6 Kilogramm auf die Waage. Wie schwer müsste jedes Huhn sein, wenn die vier Hühner alle gleich viele Gramm zu ihrem Gesamtgewicht beitragen sollten? Es wären 400 Gramm, den 4 mal 400 gibt 1600.

Deutung als Datenschwerpunkt

Man stelle sich die Zahlen als Kugeln auf einer Zahlengeraden vor. Das arithmetische Mittel der Zahlen ist dann diejenige Stelle auf der Zahlengeraden unter die man einen Finger halten könnte und die Gerade wäre dann perfekt ausbalanciert. Die Stelle ist dann physikalisch-anschaulich gesprochen der 👉 Datenschwerpunkt

Rechenbeispiele

Die Grundidee ist immer, dass man alle gegebenen Zahlen zu ihrer Summe aufaddiert. Dann teilt man die so erhaltene Summe durch die Anzahl der Zahlen. Das Ergebnis ist das arithmetische Mittel. Dabei können einige verblüffende Effekte auftreten.

Die fehlende Wirklichkeit

Angenommen auf einer kleinen Phantasie-Insel leben zusammen 20 Insulaner. 10 davon sind sehr reich. Jeder der reichen Insulaner besitzt 800 Goldtaler. Von den 10 anderen Insulanern besitzt jeder nur 50 Goldtaler. In Summe besitzen sie damit 10·800 + 10·50 = 8500. Diese Summe gleichmäßig auf die 20 Insulaner verteilt gibt 425 Goldtaler. Die 425 Goldtaler sind der durchschnittliche Besitz eines der Insulaner. Aber in Wirklichkeit gibt es keinen einzigen Insulaner, der so viel Geld besitzt. Den fiktiven Durschnittsinsulaner mit einem mittelgroßen Besitz gibt es nicht.

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(800+800+800+800+800+800+800+800+800+800+50+50+50+50+50+50+50+50+50+50) geteilt durch 20 = 425

Es kann sein, dass das arithmetische Mittel in der Wirklichkeit selbst gar nicht vorkommt.

Das kleine Beispiel mit der Insel der Reichen und Armen ist nicht so weit hergeholt. Vergleicht man den Wohlstand der Einwohner eines Landes nur über den durchschnittlichen Besitz (oder das Einkommen) kann schnell ein Trugbild entstehen. Es gibt tatsächlich Länder mit wenigen Reichen und vielen Armen Menschen. Und es gibt Länder mit einem sehr gleichmäßig verteilten Reichtum. Zwei solche Länder könnten denselben durchschnittlichen Reichtum ihrer Einwohner haben, sich aber in der Lebenswirklichkeit der echten Menschen enorm unterscheiden.

Durchschnitt Null

Man kann das arithmetische Mittel, also den Durchschnitt, auch mit negativen Zahlen bilden. Eine negative Zahl plus eine negative Zahl gibt eine noch "negativere" Zahl. Wenn man die Zahl -4 zur Zahl -2 addiert, erhält man -6. Mit diesem Wissen im Hinterkopf kann man erkennen, warum der Durchschnitt einer aus negativen und positiven Zahlen gemischten Liste von Zahlen auch Null werden kann.

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(-4 + -4 + -4 + -4 + 8 + 8):6 = 0

Der Durchschnitt von Zahlen kann auch Null werden.

Schwere Außreißer

Ein weiterer interessanter Effekt ist der von einer einzigen Zahl, die weit entfernt von allen anderen Zahlen liegt. Eine einzelne Zahl in einer ansonsten längeren Liste kann das arithmetische Mittel sehr stark beeinflussen.

🖩

(2+3+4+5+986) geteilt durch 5 = 200

Einzelne Zahlen können eine große Wirkung haben.

Die Zahl 2, 3, 4 und 5 hätten als gemeinsamen Durchschnitt 2,8. Doch nimmt man noch die 986 mit dazu, dann hebt sich sich der Durchschnitt drastisch an auf 200. In der Statistik nennt man eine solche Zahl einen Ausreißer.

Was ist der Unterschied zum Erwartungswert?

In der Stochastik, das heißt der Wahrscheinlichkeitsrechnung, gibt es auch das Wort Erwartungswert, oft mit einem kleinen µ (my) abgekürzt. Während man das arithmetische Mittel immer für eine begrenzte Anzahl von Zahlen berechnet, zum Beispiel echte Messwerte, ist der Erwartungswert immer nur eine rein theoretische Zahl: das arithmetische Mittel, das man im Idealfall erwarten würde, wenn ein Versuch vollkommen wie von der Theorie gefordert abläuft. Lies mehr dazu unter 👉 Erwartungswert

Welche Bedeutung hat der Durchschnitt in der Physik?

Physikformeln und Naturgesetze gelten oft nur für Durchschnittswerte, also das arithmetische Mittel von vielen Messwerten. Dieser Aspekt kommt bei fast allen Naturgesetzen zum Tragen^[4]. Siehe auch 👉 Naturgesetz

Synonyme

👉 Mittelwert [umgangssprachlich]

👉 Arithmetisches Mittel

👉 Durchschnitt

👉 x quer

👉 ø

Fußnoten

[1] Arithmetisches Mittel: "Durchschnitt, in der Geometrie, s. Schnitt, in der Technik, s. Profil. In der Arithmetik ist der D. mehrerer algebraischer Zahlen ihr arithmetisches Mittel, s. Mittel und Durchschnittsrechnung." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 5. Leipzig 1906, S. 301. Online: http://www.zeno.org/nid/20006522564

[2] Arithmetische Mittel, Schnittpunkt: "Durchschnitt zweier Linien, die ihnen gemeinsamen Punkte. – D. mehrerer gleichartiger Größen, soviel wie ihr arithmet. Mittel (s. Mittel)." In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 1. Leipzig 1911., S. 4. Online: http://www.zeno.org/nid/20001063979

[3] Auch als Mittelwert: "Durchschnitt, 1) (Math.), Punkt (Durchschnittspunkt), worin 2 Linien, od. die Linie (Durchschnitts linie), worin 2 Flächen sich schneiden; bei einem Körper ist der innerhalb des Körpers liegende Theil einer schneidenden Fläche der D. (Schnitt, Sectio); 2) (Durchschnittszahl, Mittel), Mittelwerth od. Mittelpreis, gibt das mittlere Verhältniß der einzelnen gegebenen Theile an, von denen ein solches durch Rechnung gefunden od. bestimmt werden soll. Der D. ist das Resultat der Durchschnittsrechnung, d.h. der Rechenoperation, durch welche man aus mehreren gegebenen Zahlen eine sogenannte Mittelzahl findet, als Durchschnittspreis, Durchschnittscurs, Durchschnittsdividende etc. Die Durchschnittsrechnung befaßt hauptsächlich 3 Fälle: a) wo aus den verschiedenen Werthen zusammensetz- od. mischbarer Dinge der Werth gesucht werden soll, den die Mischung hat, ein Theil der Alligationsrechnung; b) wo aus den Preisen, die eine Sache zu verschiedenen Zeiten hatte, der Durchschnittspreis derselben bestimmt werden soll; berechnet durch Addition der Preise zu den verschiedenen Zeiten u. Division mit der Anzahl der Summanden in die Summe; c) wo die mittlere Verfallzeit von mehreren zu verschiedenen Zeiten zahlbaren Capitalen (bes. Wechseln) zu suchen ist, also eine Durchschnittsverfallzeit, zu welcher (ohne Nachtheil für Gläubiger u. Schuldner) die Zahlung auf einmal geleistet werden kann; wird gewöhnlich unter der Terminrechnung abgehandelt; 3) (Münzw.), Maschine, womit die Zaine in Münzplatten zerschnitten werden; 4) (Vogels.), ein alter Dohnensteig; 5) (Durchschnittsritz, Bauk.), so v.w. Profil." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 5. Altenburg 1858, S. 419. Online: http://www.zeno.org/nid/20009824383

[4] Franz Serafin Exner: Physikalische Gesetze als Durchschnittsgesetze. Fragliche Gültigkeit derselben in kleinen Gebieten (7. Vorlesung). In: Vorlesungen über die physikalischen Grundlagen der Naturwissenschaften. Deuticke, Wien 1919, OBV. Seite 665 — 670. Siehe auch 👉 Grundlagen der Naturwissenschaften (Exner)