Erwartungswert
μ Definition
Basiswissen
3,5 ist der Erwartungswert für einen normalen fairen Spielwürfel: der Erwartungswert ist der Durchschnitt, das heißt das arithmetische Mittel, das man bei einem theoretisch perfekten Versuch erwarten würde, wenn die Zahleneregebnisse des Versuches keinerlei Abweichung von den theoretischen Wahrscheinlichkeiten hätten. Das ist hier näher erklärt.
Einführung
Der Erwartungswert ist keine Wahrscheinlichkeit, sondern der Wert, den die Ergebnisse eine Zufallsversuches im arithmetischen Mittel hätten, wenn man den Versuch unendlich oft macht. Einen Erwartungswert gibt es damit auch nur für Zufallserversuche, bei denen die Ergebnisse als Zahlen Sinn machen (z. B. Zahl würfeln, nicht aber: Farbe würfeln). Das ist hier mit einem Zahlenbeispiel erklärt.
Was ist der Erwartungswert?
- Der Erwartungswert μ (my oder mü) wird genauso berechnet wie das arithmetische Mittel.
- Aber gedanklich geht man von unendlich vielen Zahlen aus.
- Der Erwartungswert beim Würfeln wäre also das arithmetische ...
- Mittel bei unendlich vielen Würfen, das wäre die Zahl 3,5.
- Wenn man also unendlich oft würfeln würde, dann käme im ...
- Schnitt die Dreieinhalb als gewürfelte Zahl heraus.
- Die Abkürzung ist das kleine griechische Mü: μ
Wie berechnet man den Erwartungswert?
- Der Erwartungswert existiert nur für Versuche, deren Ergebnisse alle als Zahl ausgedrückt werden.
- Man rechnet dann für jedes mögliche Ergebnis: Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses mal der Ergebniszahl.
- Dann addiert man am Ende alle diese Produkte aller möglichen Ergebnisse zusammen.
- Das Ergebnis ist dann der Erwartungswert.
Welche Sonderfälle gibt es?
Je nach Fragestellung gibt es unterschiedliche Formeln und Rechenwege für Erwartungswert. Hier stehen drei besonders häufig behandelte Fälle.
Beispiel I
- Man hat eine Münze, bei der die eine Seite eine 10 anzeigt, die andere Seite ein 20.
- Die Wahrscheinlichkeit für beide Seiten zu erscheinen ist gleich groß.
- Es kommen als im Schnitt gleich oft die 10 wie die 20.
- Der Erwartungswert ist dann die Zahl 15.
- Rechnung: ½·10 + ½·20 = 15 ✔
Beispiel II
- Ein fairer Spielwierfel zeigt die Zahlen 1 bis 6 an.
- Jede der Zahlen kommt theoretisch gleich oft vor.
- Rechnung: ⅙·1 + ⅙·2 + ⅙·3 + ⅙·4 + ⅙·5 + ⅙·6 = 3,5 ✔
Kann man "unendlich" überhaupt berechnen?
- Niemand kann unendlich oft würfeln.
- Deshalb ist der Erwartungswert etwas Hypothetisches.
- Man trifft aber gut begründete und berechtigte Annahmen:
- Wenn man unendlich oft mit einem ungezinkten Würfel würfelt,
- dann käme wahrscheinlich jede Zahl ungefähr gleich oft.
- Ob das tatsächlich so ist, kann man zwar nicht mit Sicherheit sagen.
- Aber man hält die Annahme für gut begründet und sinnvoll.
- Unter dieser Annahme kann man dann den Erwartungswert berechnen.
Kann man für jeden Versuch einen Erwartungswert berechnen?
- Nein, nur für Versuche, bei denen die Ergebnisse Zahlen sind.
- Beispiel: Beim einem normalen Würfel kommen die Zahlen 1 bis 6 heraus.
- Also kann man für Würfeln einen Erwartungswwert berechnen.
- Bei einem Würfel, der nur verschiedene Farben als Flächen hat, ...
- kann man keinen Erwartungswert berechnen. Das macht auch Sinn ...
- denn man kann schlecht sagen, welche Farbe "im Schnitt" käme.
Tipps
- Sprich vom arithmetischen Mittel, wenn es um eine begrenzte Anzahl von Versuchen geht.
- Sprich vom Erwartungswert, wenn es um hypothetisch unendliche viele Versuche geht.