Weg-Zeit-Diagramm

Physik

Basiswissen｜ Klassische Mechanik: Zeit auf der x-Achse｜ Relativitätstheorie: Zeit auf der y-Achse｜ Wie liest man ein Weg-Zeit-Diagramm?｜ Das Weg-Zeit-Diagramm einer Inselfähre｜ Der Weg im Sinn der Physik｜ Zur Steigung eines Weg-Zeit-Diagramms｜ Die mittlere Geschwindigkeit bestimmen｜ Die Momentangeschwindigkeit bestimmen｜ Weg-Zeit-Diagramm und Ableitungen｜ Beispieldaten für den Start eines Flugzeuges｜ Fußnoten

Basiswissen

Ein Weg-Zeit-Diagramm^[1], kurz auch t-s-Graph^[1], s(t)-Diagramm^[2] genannt: auf der horizontalen Achse (von links nach rechts) steht die Zeit t aufgetragen. Auf der vertikalen Achse (von unten nach oben) ist der in der Zeit t zurückgelegte Weg s aufgetragen. Das ist hier näher erklärt. Der Graph ist immer monoton steigend, niemals fallend.

Klassische Mechanik: Zeit auf der x-Achse

Immer gilt: auf der horizontalen Achse, der Abszisse, ist die Zeit t aufgetragen, auf der vertikalen Achse, der Ordinaten, ein Weg s. Je nach Buch triftt man auf verschiedene Schreibweisen und Bezeichnung. Die folgende Bezeichnungen stehen für weitere ähnliche Schreibweisen. Es sind alles Synonme für das Weg-Zeit-Diagramm

t-s-Graph^[1]

s(t)-Diagramm^[2]

s-t-Diagramm^[4]

Relativitätstheorie: Zeit auf der y-Achse

In der Relativitätstheorie, sowie der Teilchen- und Quantenphysik hast sich seit dem frühen 20ten Jahrhundert die die Darstellung mit dem Ort auf der x-Achse und der Zeit auf der y-Achse durchgesetzt. Solche Diagramme bezeichnet man als Raum-Zeit-Diagramm ↗

Wie liest man ein Weg-Zeit-Diagramm?

Auf der horizontalen Achse stehen Zahlenwerte für die Zeit t. Man kann nun zu irgendeinem t-Wert auf der horizontalen Achse gehen. Dann geht man von dieser t-Markierung für die Zeitdauer senkrecht nach oben oder unten bis auf die Linie (man sagt auch Kurve) des Graphen. Von diesem Punkt liest man dann den s-Wert auf der vertikalen Achse ab. Dieser s-Wert gibt dann die Wegstrecke, die man nach der Dauer t zurückgelegt hat. Siehe auch 2D-Punkt aus Koordinatensystem [ablesen] ↗

Das Weg-Zeit-Diagramm einer Inselfähre

Das Beispiel eines Fährschiffes^[7], das zwischen einem Hafen auf dem Festland und einer insel hin und her fährt^[8], soll hier die Bedeutung und einige Besonderheiten eines Weg-Zeit-Diagramms klar machen. Stellen wir uns einen Hafen H auf dem Festland links und einen kleinen Anleger A auf einer Insel rechts vor. Dazwischen liegen 32 Kilometer offenes Meer:

H····<- 32 Kilometer Meer ->····A

Die Fähre soll nun auf gerader Strecke immer mit einer Geschwindigkeit von 16 Kilometern pro Stunde fahren. Am Hafen soll sie jeweils eine halbe Stunde Aufenthalt haben^[7]. Als Gedankenspiel sollen die Fähren rund um die Uhr den ganzen Tag über im Einsatz sein.

Legt man nun den Anfang einer Betrachtung auf das Auslaufen der Fähre, so ist die Zeit, gemessen in Minuten, dann t=0. Mit Hilfe der Geschwindigkeit von 16 km/h und den jeweils halbstündigen Pausen kommt man dann zu folgender Zuordnung:

t=0 -> Zurückgelegter Weg: 0 km (Abfahrt vom Hafen)

t=½ -> Zurückgelegter Weg: 8 km (viertel Strecke zur Insel)

t=1 -> Zurückgelegter Weg: 16 km (halbe Strecke zur Insel)

t=1½ -> Zurückgelegter Weg: 24 km (dreiviertel Strecke)

t=2 -> Zurückgelegter Weg: 32 km (Ankunft am Inselanleger)

t=2½ -> Zurückgelegter Weg: 32 km (Abfahrt vom Inselanlager)

t=3 -> Zurückgelegter Weg: 40 km (Viertel Strecke des Rückweges)

t=3½ -> Zurückgelegter Weg: 48 km (halbe Strecke des Rückweges)

t=4 -> Zurückgelegter Weg: 56 km (dreiviertel des Rückweges)

t=4½ -> Zurückgelegter Weg: 64 km (Ankunft am Hafen)

t=5 -> Zurückgelegeter Weg: 64 km (Abfahrt am Hafen)

und so weiter.

Der Weg im Sinn der Physik

Der Weg, oder besser die Weglänge, sagt anschaulich, wie viele Millimeter, Zentimeter, Meter, Kilometer oder sonst eine andere Einheit der Länge, man seit dem Beginn einer Betrachtung zurückgelegt hat. Die Form des Weges (gerade, kuriv, eckig, kreisförmig) ist dabei völlig egal.

Die physikalische Bedeutung des Wortes Weg zu verstehen passt die Idee einer Fahrradtour sehr gut. Man kann zum Beispiel an einem Tag einen Weg von etwa 100 Kilometern zurücklegen. Der Weg kann von einem Ort zu einem anderen Führen, etwa an einem Fluss entlang. Oder man kommt abends wieder zuhause an. Wenn man die Länge des Weges kennt, dann weiß man damit, wie viele Meter oder Kilometern jemand zurückgelegt hat^[1]. Man weiß aber nicht, wo die Person dann am Ende ist^[6]. In diesem Sinn meint Weg oder Wegstrecke bei einem Weg-Zeit-Diagramm wie Strecke zurückgelegt wurden, nicht aber, in welche Richtung. Siehe auch Weg (Physik) ↗

Zur Steigung eines Weg-Zeit-Diagramms

Ein Weg-Zeit-Diagramm hat immer eine positive Steigung oder es verläuft waagrecht. Niemals aber kann ein Weg-Zeit-Diagramm eine negative Steigung haben. Der Grund ist: man kann den einmal zurückgelegten Weg nicht wieder ungeschehen machen. Ein Gegenstand, der sich bewegt hat, kann immer mehr Strecke dazutun, niemals aber wieder wegnehmen. Ein Graph, der ansteigen oder waagrecht verlaufen kann heißt in der Mathematik monoton steigend ↗

Die mittlere Geschwindigkeit bestimmen

Die Steigung zwischen zwei Punkten des Diagramms ist immer eine mittlere Geschwindigkeit.

Die Steigung zwischen zwei Punkten ist immer dasselbe wie die entsprechende Sekantensteigung ↗

Man wählt zwei Punkte auf dem Graphen aus, die zum Anfang und zum Ende des betrachteten Zeitraumes gehören.

Man bildet zwischen den zwei Punkten ein Steigungsdreieck ↗

Man bestimmt die Höhe des Steigungsdreiecks, das heißt die Länge der rechten senkrechten Linie.

Man bestimmt die Breite des Steigungsdreiecks, das heißt die Länge der unteren waagrechten Linie.

Man rechnet: die Höhe des Steigungsdreiecks geteilt durch seine Breite.

Das Ergebnis ist die mittlere Geschwindigkeit zwischen den zwei Zeitpunkten.

Siehe auch Steigung aus zwei Punkten ↗

Die Momentangeschwindigkeit bestimmen

Die Steigung an einem Punkt des Diagramms ist immer eine Momentangeschwindigkeit.

Die Steigung an einem Punkt des Diagramms ist immer dasselbe wie die entsprechende Tangentensteigung ↗

Man berechnet von der Funktion f'(x), also die erste Ableitung ↗

Man setzt in f'(x) dann einen interessierenden x-Wert als Zeit ein.

Der Funktionswert von f'(x) ist dann die gesucht Momentangeschwindigkeit ↗

Weg-Zeit-Diagramm und Ableitungen

Oft hat man für den Graphen eine Funktionsgleichung f(x) gegeben.

Die erste Ableitung f'(x) gibt dann die Momentangeschwindigkeit ↗

Die zweite Ableitung f''(x) gibt die Beschleunigung ↗

Beispieldaten für den Start eines Flugzeuges

Hier geht es um ein Propellerflugzeug, das auf einer Startbahn auf einer Nordseeinsel am Boden Anlauf für das Abheben nimmt. Den Anlauf auf dem Boden nennt man auch den Startlauf. Vor dem Startlauf rollte das Flugzeug langsam hin zur Starbahn. Diesen Teil nennt man in der Fliegersprache Taxiing. Beim Taxiing hatte das Flugzeug eine Geschwindigkeit von mindestens 7 m/s (Meter pro Sekunde).

Das Video zeigt den Startlauf des Propellerfleuges auf einer Nordseeinsel. Alle wichtigen Daten stehen in der Tabelle weiter unten.

Mit der Taxiing-Geschwindigkeit schwenkte das Fugzezug auf die Startbahn ein und begann dann sofort mit lautem Motor stark zu beschleunigen. Die Meterangaben in der Tabelle unten beziehen sich auf den Anfang der geraden Anlauf-Strecke. Bei 0 Sekunden und 0 Metern hatte das Flugzeug also schon eine Geschwindigkeit von mindestens 7 m/s.

00,00 Sekunden: 000 Meter

04,68 Sekunden: 030 Meter

04,68 Sekunden: 050 Meter

06,24 Sekunden: 080 Meter

07,16 Sekunden: 100 Meter

08,40 Sekunden: 130 Meter

09,16 Sekunden: 150 Meter

10,19 Sekunden: 180 Meter

10,92 Sekunden: 200 Meter

11,84 Sekunden: 230 Meter

12,44 Sekunden: 250 Meter

13,44 Sekunden: 280 Meter

14,16 Sekunden: 305 Meter

Bei der letzten Position von 305 Metern hatte das Flugzeug mit allen seiner drei Räder endgültig den Boden verlassen. Diesen Moment bezeichnet man in der Fliegersprache als take-off.

Um Daten wie die obigen anschaulich in einem Weg-Zei-Diagramm darzustellen ist es üblich, die Zeit in Sekunden auf der Abszisse (x-Achse) und die Meter-Positionen auf der Ordinate (y-Achse) aufzutragen. Man trägt zunächst gerade Punkte für jedes Wertepaar ein. Folgende weitere Auswertungen sind dann interessant:

a) Sieht die Zuordnung näherungsweise proportional, linear, quadratisch, exponentiell oder ganz anders (Wurzelfunktion) aus?

b) Wie kann man den y-Achsenabschnitt, hier also das Wertepaar (0|0) deuten?

c) Was ist die Geschwindigkeit des Flugzeuges im letzten Abschnitt vor dem take-off?

d) Wie lange ist die Strecke für den geradlinigen Anlauf (Startlauf)?

e) Für die Oberstufe: mit welcher Funktion ließe sich der Vorgang modellieren?

f) Was würde die erste Ableitung dieser Funktion anschaulich bedeuten?

g) Was würde die zweite Ableitung dieser Funktion anschaulich bedeuten?

Fußnoten

[1] Von einem "Zeit-Weg-Diagramm" und der dazugehörigen Abkürzung "t-s-Graph" die Rede in: Metzler Physik. 5. Auflage. 592 Seiten. Westermann Verlag. 2022. ISBN: 978-3-14-100100-6. Dort im Kapitel "1.1.2 Die geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit". Seite 13.

[2] Die Abkürzung s(t)-Diagramm für das Weg-Zeit-Zeit-Diagramm findet sich in: Dorn.Bader. Physik SII Gesamtband Gymnasium. Westermann Bildungsmedien. Braunschweig. 2023. ISBN: 978-3-14-152376-8. Dort der Abschnitt zur "gleichförmig geradlinigen Bewegung". Seite 17.

[3] Ein "Weg-Zeit-Diagramm" ist die "Kurve", die sich in einem Koordinatensystem ergibt, "wenn man auf der horizontalen Achse oder der t-Achse die Zeit und auf der vertikalen Achse oder der s-Achse den Weg" auftgrägt. In: Oskar Höfling: Physik. Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium. Fünfzehnte Auflage. 1994. ISBN: 3-427-41045-5. Dort im Kapitel "2.2.1 Die Bezugssysteme" auf Seite 28.

[4] Ein eigener Eintrag "s-t-Diagramm" verweist auf den Hauptartikel Weg-Zeit-Diagramm. In: Spektrum Lexikon der Physik. Stand 23. September 2024. Online: www.spektrum.de/lexikon/physik/s-t-diagramm/13790

[5] Ein Diagramm, das für jeden Zeitpunkt nicht die zurückgelegte Wegstrecke sondern die Position angibt, an der man sich befindet, nennt man ein Ort-Zeit-Diagramm ↗

[6] In einem Lehrbuch der Physik wird das "Weg-Zeit-Diagramm" als Graph des "Weg-Zeit-Gesetzes", nämlich "s=s(t)" bezeichnet. Dabei sei es üblich, "auf der horizontalen Achse oder der t-Achse die Zeeit und auf der vertikalen Achse oder der s-Achse den Weg aufzutragen". Das wird abgegrenzt von einer Funktion, die nicht den Weg s sondern die "Ortskoordinaten" mit Gleichungen wie "x=x(t)", "y=y(t)", oder "z=z(t)" angeben. Die letzeren Gleichungen "geben zu jeder beliebigen Zeit t die Lage des Punktes P an". In: Oskar Höfling: Physik. Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium. Fünfzehnte Auflage. 1994. ISBN: 3-427-41045-5. Dort die Seiten 27 und 28.

[7] Als gedankliches Vorbild wurden hier die Seebäderschiffe zu den ostfriesischen Inseln genutzt. Diese Schiffe haben eine typische Höchstgeschwindigkeit von etwa 22 km/h (Wangerooge) bis etwa 29 km/h (MS Ostfriesland nach Borkum). Als typisches Beispiel siehe das Seebäderschiff Wangerooge ↗

[8] Die Entfernungen der ostfriesisches Festlandshäfen zu den Inseln liegen zwischen gut 4 km (Neßmersiel-Baltrum) bis zu gut 45 km (Emden-Borkum). Entsprechend liegen die Fahrzeiten zwischen etwa 30 Minuten und gut 130 Minuten.

[9] Bei einem sogenannten Raum-Zeit-Diagramm der Relativitätstheorie und der Teilchenphysik ist der Ort oder Raum auf der Abszisse (x-Achse) und die Zeit auf der Ordinate (y-Achse) aufgetragen. Siehe mehr unter Raum-Zeit-Diagramm ↗