Sphärische Geometrie
Nur auf Kugeloberflächen
© 2016
- 2026
Basiswissen
Bewegt man sich gedanklich nur auf der Oberfläche einer Kugel verändern sich die bisher bekannten Gesetze der Geometrie deutlich: ein Dreieck hat nicht mehr die Innenwinkelsumme von 180°, der Satz des Pythagoras gilt nicht mehr und alle Flächenformeln müssen angepasst werden. Die sphärische Geometrie spielt eine wichtige Rolle in der Vermessung des Erdkörpers (Geodäsie). Hier stehen einige Beispiele.
Einführung
Wenn man die drei Innenwinkel in einem Dreieck addiert, dann kommt als Summe immer 180° heraus. Dieser Satz gilt für alle Dreiecke, die man auf einer flachen, ebenen Fläche wirklich zeichnet und vermisst. Anders aber sieht es aus, wenn man ein Dreieck auf der Oberfläche einer Kugel zeichnet.
Dieses Dreieck auf der Oberfläche einer Kugel hat drei 90°-Winkel. Die Summe der Innenwinkel beträgt also 270°. Man spricht von einem sphärischen Dreieck. Dieses Beispiel mit den drei 90°-Winkeln ist näher erklärt im Artikel zum 👉 Galapagos-Dreieck
Der bemerkenswerte Fakt ist, dass hier die bekannte Regel der Innenwinkelsumme von Dreiecken nicht mehr stimmt. Und auch der Satz des Pythagoras geht in dem gezeigten Bild nicht auf. Die drei Seiten in dem Dreieck sind alle gleich lang. Dann kann aber unmöglich der Satz a²+b²=c² aufgehen. Alle Sätze der Geometrie, die man bisher für Ebenen gelernt hat, werden fragwürdig. Für Kugeloberflächen müssen sie meist neu formuliert werden. Und sie sind dann in der Regel deutlich komplizierter als in den bekannten Formen für die ebene Geometrie.
Beispiele zur sphärischen Geometrie
- Ein Dreieck auf einer Kugeloberfläche 👉 sphärisches Dreieck
- Ein Zweieck auf einer Kugeloberfläche 👉 sphärisches Zweieck
- Winkelberechnungen zu Kugeln 👉 sphärische Trigonometrie
- Abstand von Punkt A zu Punkt B 👉 sphärischer Abstand
Erkenntnistheorie
Im 19. Jahrhundert griffen Schriftsteller, etwa in England [2] und Deutschland [3] gerne die Idee von Wesen auf, die auf einer ganz flachen Welt leben. Später wurden dazu auch spielerische Computersimulationen entwickelt. [4] Auch wenn diese Phantasie-Welten oft als flache Welten gedacht waren, zeigen sie auf unterhaltsame Weise, wie das Denken solchen Wesen eine dreidimensionale Welt, in der wir leben, überhaupt nicht begreifen könnten. Und besonders schwer begreifbar müsste für solche Wesen ihre flache Welt erscheinen, wenn sie in Wirklichkeit als gekrümmte Ebene in einen dreidimensionalen Raum eingebettet ist. [1] Diese Art von Gedankenexperiment führt folgerichtig zu der Konsequenz, dass vielleicht auch unsere dreidimensionale Welt wiederum eingebettet sein könnte, in eine noch höherdimensionale Wirklichkeit. Interessant ist dann die Frage, wie man das überhaupt herausfinden könnte. So wie die Oberfläche eines Globus im Raum gekrümmt ist, so könnte auch unserer 3D-Raum selbst gekrümmt sein in höheren Dimensionen. Siehe dazu den Artikel 👉 gekrümmter Raum
Fußnoten
- [1] Die sphärische Geometrie wird unter anderem ganz ohne Zahlen eingeführt in: Jeffrey R. Weeks: The Shape of Space. CRC Press. 2002. ISBN: 13-978-0-8247-0709-5. Dort im "Chapter 9. The Sphere". Seite 136. Der gedankliche Hintergrund ist dabei ein Teilgebiet der Mathematik, das quasi ganz ohne Zahlen auskommt, die sogenannte 👉 Topologie
- [2] Als Satire auf die Viktorianische Gesellschaft: Edwin Abbott: Flatland. A Romance of Many Dimensions. 1884. Deutsch: Edwin A. Flachland. Übersetzt von Mirjam Rabe. Kommentierte Ausgabe. Springer Spektrum Verlag. 2023. Siehe auch 👉 Flatland
- [3] Humoristisch beschrieb Wilhelm Busch (1832 bis 1908), ein Pionier des Genre des Comics, eine flache Welt über mehrere Seiten: "Da lag sie vor uns, die Horizontalebene … Das Tor, welches wir passieren mussten, hatte nur Breite, aber nicht die mindeste Höhe." Eine soziale Folge ist die schwere Erkennbarkeit des Status: "Vornehme und Geringe sind auf den ersten Blick nur schwer zu unterscheiden". Und mehrere Seiten so, in: Wilhelm Busch: Eduards Traum.
- [4] A. K. Dewdney: Two-dimensional Science and Technology. University of Western Ontario, 1980. 110 Seiten.