Differenzenquotient
Y2-Y1 durch X2-X1
© 2016
- 2025
Basiswissen｜
Formeln｜
Legende｜
Wozu wird der Differenzenquotient benötigt?｜
Zahlenbeispiel zur Berechnung｜
Woher kommt der Name?｜
Schreibweisen｜
Arten｜
Was sind das Sekantenverfahren und die h-Methode?
Basiswissen
Der Differenzenquotient dient der Berechnung der durchschnittlichen Steigung m zwischen zwei Punkten eines Graphen. Der Name kommt daher, dass man eine Differenz (Y2-Y1) durch eine andere Differenz (X2-X1) dividiert (Quotient). Eine kurze Schreibweise ist auch ΔY/ΔX, wobei das griechische Delta für Differenz steht. Er dient auch zum Berechnen der ersten Ableitung f'(x) über das Sekantenverfahren (h-Methode).
Formeln
- m = (Y2-Y1)/(X2-X1)
- m = ∆Y/∆X
Legende
- Man hat genau zwei Punkte auf einem Graphen:
- Y2-Y1 ist Differenz der Funktionswerte, kurz ΔY ↗
- X2-X1 ist Differenz der Funktionsargumente, kurz ΔX ↗
- Y2 = y-Wert des rechten Punktes
- Y1 = y-Wert des linken Punktes
- X2 = x-Wert des rechten Punktes
- X1 = x-Wert des linken Punktes
- m = durchschnittliche Steigung
- m = mittlere Änderungsrate
- m = Sekantensteigung
- ∆Y = Y2-Y1 oder kurz Delta y ↗
- ∆X = X2-X1 oder kurz Delta x ↗
Wozu wird der Differenzenquotient benötigt?
- Der Differenzenquotient für sich ist ein Term ↗
- Er gilt für zwei Punkte auf einem Graphen.
- Mit dem Term berechnet man unter anderem:
Zahlenbeispiel zur Berechnung
- Man hat den Graphen von f(x)=x².
- Auf ihm sind die Punkte: P(3|9) und Q(4|16)
- Differenzenquotient: (16-9)/(4-3) = 5/1 = 5
- Die durchschnittliche Steigung von P nach Q ist 5.
- Die mittlere Änderungsrate zwischen P und Q ist 5.
- Die Steigung der Sekante durch P und Q ist 5.
Woher kommt der Name?
- Eine Differenz ist eine Minusaufgabe oder ihr Ergebnis.
- Beispiel: Der Term 8-3 ist genauso eine Differenz wie das Ergebnis 5.
- Y2-Y1 und X2-X1 sind also beides Differenzen.
- Man dividiert dann die eine durch die andere Differenz.
- Den Berechnungsterm zum Teilen nennt man Quotient.
- 12:4 oder 12/4 sind genauso Quotienten wie das Ergebnis 3.
- Der Differenzenquotient ist ein Quotient aus zwei Differenzen.
- Siehe auch Differenz ↗
Schreibweisen
Arten
Was sind das Sekantenverfahren und die h-Methode?
- Das sind Verfahren, um die erste Ableitung einer Funktion f(x) zu berechnen.
- Wenn man zum Beispiel f(x) = x² ableitet erhält man: f'(x) = 2x
- Mehr dazu unter Sekantenverfahren [h-Methode] ↗