Basiswissen

1x+1y+2z=8 ist ein Beispiel für eine Ebene in Koordinatenform. Dieselbe Ebene kann auch in der allgemeinen Normalenform x·n=p dargstellt werden. Im Beispiel gäbe das x·(1|1|2)=8. Die Umwandlung ist sehr einfach und erfordert keine Rechenschritte. Das ist hier kurz vorgestellt.

Grundidee

Die Vorfaktoren, auch Koeffizienten, der Unbekannten x, y und z bilden zu dritt den gesuchten Normalenvektor n der Normalenform. Die gesuchte Zahl p ist in beiden Formen dieselbe und kann sofort abgelesen werden.

Zahlenbeispiel

Gegeben ist 1x+1y+2z=8 als 👉 Koordinatenform der Ebene

Der Normalenvektor n ist (1|1|2) siehe auch 👉 Normalenvektor

Die gesuchte Zahl p ist in beiden Formen immer gleich und hier die 8.

Also ist x·(1|1|2)=8 hier die 👉 allgemeine Normalenform der Ebene

Rückwärtsprobe über das Skalarprodukt

Eine enge logische Verbindung zwischen beiden Darstellungsformen von Ebenen bildet das Skalarprodukt. Das Malzeichen in der Normalenform steht für dieses Skalarprodukt. Multipliziert man die Vektoren auf der linken Seite der Normalenform aus, erhält man wieder die linke Seite der Koordinatenform: Dazu schreibt man den variablen Vektor x mit seinen drei Vektorkoordinaten (x|y|z) auf und rechnet: (x|y|z)·(1|1|2) = 1x+1y+2z. Siehe auch 👉 Skalarprodukt

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Hessesche Normalenform in Allgemeine Normalenform
Hessesche Normalenform in Koordinatenform
Parameterform in Punkt-Normalenform
Punkt-Normalenform in Allgemeine Normalenform