Basiswissen

Gegeben ist eine Ebene in der Koordinatenform, zum Beispiel 1x+1y+2z=8. Gesucht ist die Gleichung derselben Ebene in der sogenannten Hesseschen Normalform, das wäre hier im Beispiel: x·^{[1/√6|1√6|2/√6]}=8/√6. Die Umrechnung ist hier kurz angedeutet.

Grundidee

Man geht in zwei Schritten vor: in einem ersten Schritt wandelt man die Koordinatenform um die allgemeine Normalenform. Dann, in einem zweiten Schritt, wandelt man die allgemeine Normalenform um in die Hessesche Normalenform. Beide Schritte sind vergleichsweise einfach und brauchen keinen großen Rechenaufwand.

Zahlenbeispiel

Gegeben ist 1x+1y+2z=8 als 👉 Koordinatenform der Ebene

Erster Schritt gibt x·(1|1|2)=8 als 👉 Koordinatenform in allgemeine Normalenform

Zweiter Schritt gibt x·^[1]" title="Zur Fußnote (Quellen und Hintergründe) "style="color: black;"> ^{[1/√6|1√6|2/√6]}=8/√6 👉 allgemeine Normalenform in Hessesche Normalenform

Das Endergebnis ist die 👉 👉 Hessesche Normalenform der Ebene

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Grundidee

Zahlenbeispiel

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Parameterform in Punkt-Normalenform
Punkt-Normalenform in Allgemeine Normalenform