Basiswissen

n·x = d ist die allgemeine Normalenform der Ebene. Ausgesprochen heißt das: n skalar multipliziert mit x ergibt für eine gegebene Ebene immer denselben Zahlenwert d. Diese Darstellung einer Ebene gibt eine anschauliche Information über die Orientierung und auch die Lage der Ebene im Raum.

Aufbau der Gleichung

n als Normalenvektor

n·x = d

Das n steht hier für den sogenannten Normalenvektor.

Normal ist hier in der Bedeutung "senkrecht auf" verwendet.

Der Normalenvektor ist ein Vektor senkrecht auf der Ebene.

Wie lang der Normalenvektor ist, das ist egal.

Mehr unter 👉 Normalenvektor

x als variabler Ortsvektor

n·x = d

Das x steht für Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene.

Man kann für x beliebige Punkte - auch außerhalb der Ebene einsetzen.

Gedanklich beginnt der Ortsvektor im Koordinatenursprung.

Seine Spitze zeigt dann immer eindeutig auf einen Punkt.

Immer dann, wenn der Punkt der Spitze des Vektors auf der Ebene liegt, geht die Gleichung auf.

Liegt der Punkt auf der Spitze des Vektors x nicht in der Ebene, geht die Gleichung nicht auf.

· als Skalarprodukt

n·x = d

Das ist das sogenannte Skalarprodukt von zwei Vektoren.

Beim Skalarprodukt gibt das Ergebnis immer eine Zahl.

Angenommen man hat die zwei Vektoren (1|1|2) und (4|4|0).

Ihr Skalarprodukt gibt: 1·4+1·4+2·0 = 8

Mehr unter 👉 Skalarprodukt

d als Lageinformation

n·x = d

d ist eine Zahl, ein sogenanntes 👉 Skalar

In der Zahl d (d = Distanz) steckt kodiert der Abstand der Ebene zum 👉 Koordinatenursprung

Bei gleichem Normalenvektor gilt: Je größer der Betrag von d, desto weiter weg vom Ursprung.

Macht man den Betrag des Normalenvektors kleiner, wird auch d kleiner.

Der Abstand zum Koordinatenursprung

Wie weit ist die Ebene entfernt vom Ursprung (0|0|0)?

Wenn n ein beliebiger Normalenvektor der Ebene ist, dann gilt:

Man berechnet das Skalarprodukt von n mit irgendeinem Punkt auf der Ebene.

Dieses Skalarprodukt teilt man durch die Länge (Betrag) des Normalenvektors.

Das Ergebnis ist der kürzeste Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung.

Formel

a = d/|n|

Legende

a = kürzester Abstand der Ebene zum 👉 Koordinatenursprung

d = der gegebene 👉 Normalenvektor

/ = ein 👉 Geteiltzeichen

|| = zwei 👉 Betragsstriche

|n| = ein 👉 Vektorbetrag

Zahlenbeispiel

Ebenengleichung: x·(3|4|0) = 20

Formel: a = d/|n|

|n| ist der Betrag von (3|4|0)

|(3|4|0)| = √(3²+4²+0²) = √25 = 5

a = 20/5

a = 4 ✓

Die Formel wird dann verständlich, wenn man die anschauliche Bedeutung des Skalarproduktes gut verinnerlicht hat. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren a und b ist gleich der Länge des ersten Vektors a multipliziert mit der Länge der senkrechten Projektion des zweiten Vektors b auf den ersten Vektor a. Wenn das so betrachtete Skalarprodukt von zwei im Koordinatenursprung beginnenden Vektoren immer dieselbe Zahl ergeben soll, dann muss die Projektion von x auf n gleich des Abstandes der Ebene vom Koordinatenursprung sei, denn: wählt man als Ortsvektor x einen Vektor in Richtung des Normalenvektors n, dann ist die Länge seiner Projektion auf x gleich der Länge von ihm (x) selbst. Und da die Länge der Projektion mit der Länge des Normalenvektors das Skalarprodukt d ergibt, kann man durch Rückwärtsrechnung vom Skalarprodukt geteilt durch die Länge von n die Länge der Projektion von x auf n berechnen. Diesen Zusammenhang bringt die Formel oben in eine rechenbare Form