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Inverse Matrix berechnen

Verschiedene Verfahren dazu

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Basiswissen｜ 2-mal-2-Matrix｜ Allgemein: Gauß-Jordan-Verfahren｜ Über Unterdeterminanten｜ Wo stehen Beispiele?｜ Fußnoten


Basiswissen


Eine Matrix kann nur invertiert werden, wenn sie quadratisch ist (genauso viele Spalten wie Zeilen) und wenn sie reguläre ist (die Determinante ist nicht gleich 0). Die Inverse Matrix A⁻¹ kann dann mit verschiedenen Verfahren bestimmt werden.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Man sieht eine Matrix mit zwei Zeilen und zwei Spalten.☛


2-mal-2-Matrix


  • Dazu gibt es ein formelhaftes Schema.
  • Man kann es leicht auswändig lernen.

Allgemein: Gauß-Jordan-Verfahren


  • Man hat eine quadratische Matrix A.
  • Rechts neben sie schreibt man eine gleich große Einheitsmatrix E.
  • Dann formt man die Matrix A links in die Einheitsmatrix um.
  • Man macht alle Umformungen auch bei der rechten Matrix E mit.
  • Dann hat man am Ende rechts die inverse Matrix von A stehen.

Über Unterdeterminanten


  • Es gibt ein sehr grundlegendes Verfahren über die Verwendung von sogenannten Unterdeterminanten.
  • Dieses Verfahren wird aber schon bei vergleichsweise kleinen Matrizen sehr rechenaufwändig.
  • Es ist hier nicht erklärt.

Wo stehen Beispiele?


  • Matrizen A mit ihren Inversen sind aufgelistet auf einer eigenen Seite:

Fußnoten


  • [1] Für eine beliebige quadratische Matrix T gilt: "𝑇 is invertible if and only if det 𝑇 ≠ 0.", kurz: "invertible ⟺ nonzero determinant". Und: " Furthermore, if 𝑇 is invertible, then det(𝑇⁻¹) = 1/det𝑇" In: Axler, S. (2024). Multilinear Algebra and Determinants. In: Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, Cham. Dort die Seiten 331 und 357. Siehe auch inverse Matrix berechnen ↗