Basiswissen

In der Quantenphysik wird vor allem im Englischen |β⟩⟨α| als outer product^[1]^[2]^[3], im Deutschen als äußeres Produkt^[9] bezeichnet. Damit wird der Ausdruck abgegrenzt zum inneren Produkt (inner product) ⟨α||β⟩. Die griechischen Buchstaben α und β stehen dabei für Vektoren. Das Ergebnis des inneren Produktes ist eine Zahl, die des äußeren Produktes ein sogenannter Operator^[1] in Form einer Matrix. Neben dieser Bedeutung steht äußeres Produkt aber auch für andere Produkte wie das das sogenannte dyadische Produkt^[4] sowie das Kreuz- oder Vektorprodukt^[5].

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Hat man zwei Kets, so bildet man deren äußeres Produkt dadurch, dass das zweite Ket zu einem Bra gemacht wird. In der Vektorschreibweise heißt das, dass man aus dem Spalten einen Zeilenvektor macht. Dann wendet man die Rechenregeln aus der Matrizenrechnung von Spaltenvektor mal Zeilenvektor an. Das Ergebnis ist eine Matrix.☛

Definition

|β⟩⟨α| als äußeres Produkt fasst das Ket |β⟩ als einen Spalten- und das Bra ⟨α| als einen Zeilenvektor auf.^[6] Das äußere Produkt wird dabei als Produkt von Matrizen aufgefasst^[7] und ergibt als Ergebnis immer eine Matrix^[8]. Das Ergebnis hat so viele Spalten wie das Bra und so viele Spalten wie das Ket.

Fußnoten

[1] Let us multiply |β⟩ and (a|, in that order. The resulting product (|β⟩)·(⟨α|)=|β⟩⟨α| is known as the outer product of |β⟩ and (a|. We will emphasize in a moment that |β⟩⟨α| is to be regarded as an operator; hence it is fundamentally different from the inner product ⟨β|α⟩, which is just a number." In: J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company. 1985. ISBN: 0-8053-7501-5. Dort auf Seite 16.

[2] Der englischsprachige Artikel "Bra–ket notation" auf Wikipedia spricht ausdrücklich von einem "outer product": A bra ⟨φ| and a ket |ψ⟩ (i.e. a functional and a vector), can be combined to an operator |ψ⟩⟨φ| of rank one with outer product |ψ⟩⟨φ|:ξ⟩ ⭢ |ψ⟩⟨φ|ξ⟩. In: der Artikel "Bra–ket notation". Wikipedia. Abgerufen am 20. Oktober 2025. Online: https://en.wikipedia.org/wiki/Bra–ket_notation

[3] "Mathematicians term the operator |B⟩⟨A| the outer product of |B⟩ and ⟨A|. The outer product should not be confused with the inner product, ⟨A|B⟩, which is just a number." In: Richard Fitzpatrick. Vorlesungsskript (lecture) Quantum Mechanics. 2013-04-08. University of Texast at Austin. Online: https://farside.ph.utexas.edu/teaching/qm/lectures/node10.html

[4] "Um den Gegensatz zum inneren Produkt (Skalarprodukt) zu betonen, wird das dyadische Produkt gelegentlich auch äußeres Produkt genannt, wobei diese Bezeichnung aber nicht eindeutig ist, da sie auch für das Kreuzprodukt und das Dachprodukt verwendet wird." In: der Artikel "Dyadisches Produkt". Wikipedia. Abgerufen am 20. Oktober 2025. Online: https://de.wikipedia.org/wiki/Dyadisches_Produkt

[4] Äußeres Produkt als Vektorprodukt: "Man unterscheidet ein sog. inneres Produkt, das Skalarprodukt, und ein sog. äußeres Produkt, das Vektorprodukt." In: Dirk H. Rischke: Theoretische Physik I: Mathematische Methoden. Vorlesungsskript der Universität Frankfurt. Wintersemester 2022/2023. Dort auf Seite 9.

[6] In particular the outer product |ψ⟩⟨ϕ| of a column and a row vector ket and bra can be identified with matrix multiplication (column vector times row vector equals matrix). In: der Artikel "Bra–ket notation". Wikipedia. Abgerufen am 20. Oktober 2025. Online: https://en.wikipedia.org/wiki/Bra–ket_notation

[7] Das äußere Produkt ist ein Produkt von Matrizen: "conventions are set up in such a way that writing bras, kets, and linear operators next to each other simply imply matrix multiplication. In particular the outer product |ψ⟩⟨ϕ| of a column and a row vector ket and bra can be identified with matrix multiplication (column vector times row vector equals matrix)." Siehe dazu auch Matrix mal Matrix ↗

[8] "Bra mal Ket ist skalar" und "Ket mal Bra ist Matrix". In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Dort im Anhang "Bra-Ket-Formalismus", Version vom 18. März 2019, Seite 8. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004

[9] "Neben dem inneren Produkt, das zwei Vektoren in einen Skalar abbildet, gibt es auch das äußere Produkt, das zwei Vektoren auf einen Operator abbildet." Und: "Das äußere Produkt zweier Vektoren |Ψ⟩, |Φ⟩ ist definiert als |Ψ⟩⟨Φ|. Es besitzt die Eigenschaft |Ψ⟩⟨Φ| = (|Φ⟩⟨Ψ|)†" Im Original ist der Dagger (Dolch, das Kreuz) hochgestellt geschrieben. In: Wolfgang von der Linden, Georg Fantner, Bernhard Schaffer: Quantenmechanik. Vorlesungsskript der TU Graz. 3. Dezember 2000. Dort auf Seite 35. Online: https://itp.tugraz.at/LV/arrigoni/QM/QM_scriptum.pdf