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Halbierungsparadoxon

Anschaulich Rechnen

Basiswissen


Halbieren heißt rechnerisch durch zwei Teilen. Wenn man die Zahl 8 halbiert, dann ist das Ergebnis 4. Das passt zum Gefühl dass Halbieren alles kleiner macht. Es gibt jedoch drei Fälle, in denen das nicht zutrifft. Diese Ausnahmen sind hier kurz vorgestellt.

Fall I: die 0 halbieren


0 halbiert, also 0 geteilt durch 2 gerechnet, gibt wieder 0. Damit wurde die 0 durch halbieren nicht kleiner gemacht. Null geteilt durch irgendetwas gibt (fast) immer wieder 0, kann also deshalb nicht kleiner werden. Lies mehr unter null durch ↗

Fall II: negative Zahl halbieren


Die -8 ist eine negative Zahl. Halbiert man sie, erhält man als Ergebnis die ebenfalls negative Zahl -4. Die -4 liegt auf der Zahlengeraden weiter rechts, ist also per Definition größer als die -8. Hier hat also das Halbieren, das Teilen durch 2, das Ergebnis größer gemacht als die Ausgangszahl, der Dividend war. Diese Folgerung ist korrekt, wenn man mit negativen Zahlen rechnet. Siehe auch minus durch plus ↗

Fall III: Brot halbieren


Wenn man ein Brot halbiert, dann hat man hinterher genauso viel Brot wie vorher. Wieder macht halbieren eine Sache nicht kleiner oder weniger. Tatsächlich steht halbieren für zwei unterschiedliche Handlungen. Halbieren kann einmal heißen, etwas in zwei gleich große Stücke zu teilen (das Brot). Halbieren kann aber auch heißen, dass man etwas halb so groß macht, wie es vorher war. Dann würde halbieren kleiner machen. Lies mehr zur anschaulichen Bedeutung unter halbieren ↗

Etwas Lernpsychologie: die Akkomodation


Die Anpassung alter Denkschemata an neue Erkenntnisse bezeichnete der schweizer Psychologe Jean Piaget (1896 bis 1980) als Akkomodation[1]. Wenn sich neue Tatsachen nicht mehr befriediegend mit bestehenden Denkweisen erklären lassen, so Piaget, dann kommt es oft zu einer geeigneten Anpassung der Denkweisen. Piaget entwickelte dieses Konzept unter anderem am Beispiel des kindlichen Denkens[2].

Akkomodation für das Halbieren von Zahlen


Die Vorstellung, dass Halbieren Zahlen rechnerisch kleiner macht ist richtig, solange man nur mit positiven Zahlen rechnet. Positiv sind alle Zahlen, die größer sind als die Null. Auf der Zahlengeraden liegen diese Zahlen alle rechts von der Null. Erweitert man den betrachteten Zahlenbereich jedoch um die Null und die negativen Zahlen, muss diese sprachliche Fassung anpassen:

MERKSATZ:

Teilt man eine Zahl durch zwei, hat das Ergebnis nur die Hälfte des Abstandes zur Null, wie die ursprüngliche gegebene Zahl (der Dividend). Die einzige Ausnahme von dieser Regel ist die Division der Zahl Null: teilt man die Null durch die zwei, so ist das Ergebnis wiederum null.

Dieser Merksatz passt auf alle reellen Zahlen, das sind alle Zahlen, die man irgendwo auf der Zahlengeraden anordnen kann. Wer sich weiter mit diesem Fall beschäftigen möchte, kann überlegen, ob der Merksatz auch dann noch gilt, wenn man den Zahlenbereich erneut erweitert und dann auch die komplexen Zahlen mit betrachtet. Siehe auch Komplexe Zahl ↗

Akkomodation für das Halbieren von Dingen


Wenn man den Lohn von einem Arbeiter halbiert, dann hat der Arbeiter hinterher halb so viel Geld im Monat wie vorher. Wenn man aber einen Laib Brot halbiert, dann hat man hinterher genauso viel Brot wie vorher. Hier ist ein Vorschlag, für einen Merkspruch, der beide Fälle mit einschließt:

MERKSATZ:

Halbiert man eine echte Sache, so kann das zweierlei bedeuten: man teilt die Sache in zwei gleich große Stücke oder man macht sie halb so groß wie sie vorher war.

Die Idee des Halbierens kann man dann zusammenfassen mit der Idee des Drittelns, Viertelns, Fünftelns und so weiter. Das Ergebnis ist dann eine verallgemeinerte Vorstellung vom n-teln ↗

Fußnoten