Basiswissen

Gefühlsmäßig macht Teilen Zahlen kleiner: 8 geteilt durch 2 gibt 4. Gefühlsmäßig sträubt man sich gegen die Idee, dass die Division etwas größer machen kann. Rechnet man jedoch mit Brüchen, echten Kommazahlen und negativen Zahlen, kann dieser Fall auftreten. Das ist hier kurz erklärt.

Null dividiert durch irgendetwas

Die Zahl 0 geteilt durch irgendetwas anders (außer die 0 selbst) ergibt als Ergebnis immer wieder die Zahl 0 selbst. Hier macht also die Division die Ausganszahl der Division, auch Dividend genannt, nicht kleiner. Lies mehr dazu unter 👉 null durch

Division durch eine Zahl kleiner als Eins

Die Division 4 geteilt durch 0,5 gibt als Ergebnis 8. Hier ist das Ergebnis 8 größer als der Dividend, also die Zahl die geteilt wurde (die 4). Das widerstrebt dem Gefühl, dass beim Teilen alles kleiner wird. Die Lösung ist, dass man die Division hier anschaulich als sogenannte Päckchenfrage versteht: man hat 4. Wie viele 0,5er-Päckchen stecken da drin? Die Antwort 8 erscheint jetzt sinnvoll. Lies mehr dazu unter 👉 Päckchendivision

Division durch eine negative Zahl

Die Rechnung -8 geteilt durch 2 gibt -4. Die negative Zahl -4 ist jedoch größer als die ebenfalls negative Ausgangszahl -8. Wieder hat eine Division die Ergebniszahl größer gemacht als die Ausgangszahl (der Dividend) war. Hier entsteht die Paradoxie durch die Definition von kleiner und größer in der Mathematik: kleiner ist per Definition alles, was auf einer Zahlengeraden weiter links liegt. Die -8 ist damit per Definition kleiner als die -4. Lies dazu auch unter 👉 kleiner als

Halbieren als Division

Halbieren heißt oft dasselbe wie geteilt durch zwei zu rechnen. Die Zahl 8 halbiert gibt 4. Beim Halbieren kann aber ebenfalls das Ergebnis größer werden als die Ausgangszahl. Es gibt drei Sonderfälle, bei denen das auftreten kann. Lies mehr dazu unter 👉 Halbierungsparadoxon

Fußnoten

[1] Ein deutschsprachiger Artikel fängt genau mit dem Beispiel an, dass die Zahl 2 geteilt durch ein Viertel als Ergebnis 8 gibt. Eine Schülerin habe sich dann "gewundert": "Wie konnte das Ergebnis größer sein als der Dividend? Sie hatte doch 'geteilt'!" In: Susanne Prediger: Brüche bei den Brüchen. Bildungschancen Nutzen durch Auseinandersetzung mit epistemologischen Denkhürden. Beiträge zum Mathematikunterricht 2003. Dort die Seiten 509 bis 512. Die innere Stimmigkeit, die Konsistenz, kann wieder hergestellt werden über den (lern)psychologischen Vorgang der 👉 Akkomodation (Lernpsychologie)

[2] Ein englischsprachiger Fachartikel "discusses the two overgeneralizations "multiplications makes bigger" and "division makes smaller" in the context of solving word problems involving rational numbers less than one." In: Graeber, Anna O.: Research into Practice: Misconceptions about Multiplication and Division. Arithmetic Teacher, Volume 40, Number 7, Seite 408. 11. März 1993. Online: https://eric.ed.gov/?id=EJ463197