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Das Banner der Rhetos-Website: zwei griechische Denker betrachten ein physikalisches Universum um sie herum.

Intelligent Confusion

Didaktik

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Basiswissen｜ Konfusion als Katalysator von Deep Learning｜ Beispiele｜ Tellurium confundens｜ Die unmöglichen Flutberge｜ Motorverbesserung｜ Römerstraßen｜ Flache Hochpunkte｜ Schneidendes Berühren｜ Doppelspalt｜ Geschwindigkeit｜ Halbieren｜ Stromstärke｜ Emissionsspektrum｜ Selbsterkenntnis｜ Fußnoten


Basiswissen


Beim Denken führt man oft verschiedene Wissensbereiche zusammen und überprüft, wie oder ob sie zueinander passen. Dabei stellt sich dann oft ein Gefühl des Zweifels [18], der Unsicherheit, des Unverstandenen zuweilen auch der Ablehnung oder auch besonderes Interesse ein (je nach Denktyp). Ist diese Verwirrung Ergebnis eines tieferen Eindringens in den Stoff, dann spricht man in der angelsächsischen Didaktik von intelligent confusion [1] [2].

Konfusion als Katalysator von Deep Learning


Am Ende der Grundschule, etwa im Alter von 10 bis 12 Jahren, zeigen die meisten Kinder unabhängig vom Geschlecht ein groses Interesse an Phänomenen der Physik. Die vielfältigen Eigenschaften von Materie oder Licht faszinieren so gut wie alle. In der Klasse 10 hingegen gibt es nur noch sehr wenige schüler, die die Physik als Kurs in der Oberstufe wählen möchten. Ein Grund dafür könnte sein, dass die Physik mehr als andere Fächer tatsächlich schwerer zu erlernen ist, als viele andere Fächer [4] [6] [9] [13]:


ZITAT:

"students have difficulty with the nature of the subject because of the high workload compared to other subjects, and they must engage with several representations, such as experiments, equations and calculations, graphs, and conceptual explanations, and also transform data, such as flipping between graphical and numerical representations. Physics is a cumulative subject such that if the initial concept is not clear, subsequent material will be difficult to understand." [13]


Da aber Fähigkeiten, etwa zum Wechsel zwischen graphischen, numerischen und textlichen Darstellungen im Unterricht oft nicht bis hin zur Verinnerlichung vermittelt werden [13], und ein Verständnis von tieferen Konzepten (Kontinuum, diskret, [15] Kausalität [16]), geraten gerade Kinder mit einer guten Intuition für Widersprüche, Konflikte, Anomalien, Misinformation [22] oder Erkärungslücken schnell in einen Zustand der Verwirrung. Dieser Effekt tritt in den sprachen oder der Biologie und Erdkunde sehr viel seltener auf.

Doch die übliche Haltung in der Didaktik sei es, dass Gewissheit und Selbstsicherheit für die Lernenden besser seien als Unsicherheit und Verwirrung. Und so folgt, dass die Lehrpersonen ihre Anleitungen so an den vorhandenen Wissensstand der Schüler anpassen, dass Unsicherheit und Verwirrung möglichst nicht auftreten.


ZITAT:

"Die übliche Strategie in der Didaktik ist es, Quellen von Verwirrung schnell zu erkennen und Erkärungen und andere Lernkrücken (scaffolds) anzubieten, um die Verwirrung zu mildern." [26]


Diese Strategie eines glatten Lernens ist wahrscheinlich nützlich, wo es um einfache Lerngegenstände (learning tasks) wie das Auswendiglernen, das Training bereits vorhandener Fähigkeiten (learned skills) oder Abläufe (procedures) geht. [22] Die Autoren einer Studie sprechen hier ausdrücklich von Strategien eines flachen Lernens (shallow learning) und stellen es einem Deep Learning gegenüber. Deep Learning sei nötig, wo es etwa um das Verständnis schwieriger Texte, die Erzeugung zusammenhängender Begründungen (cohesive arguments) oder die Modellierung komplexer Systeme (complex systems) geht. [22]

DEFINITION:

"Konfusion ist eine Emotion des Wissens. Sie entsteht aus der Einschätzung, inwiefern ankommende Information zu bestehenden Wissensstrukturen passt und ob es Inkonsistenzen oder andere Widersprüchlichkeiten gibt". [27]

Dieser akademischen Definition von Konfusion im Lernprozess möchte ich noch hinzufügen, dass viele Schüler nicht nur bei expliziten Widersprüchen sondern bereits bei lückenhaften Erklärungen und begrifflichen Mehrdeutigkeiten [28] in den Zustand der Verwirrung, der Konfusion geraten. Im Wesentlichen ließen sich die Ursachen für die Konfusion zwei hauptsächliche Formen zuordnen:

  • 1) Eine bestehende Unverträglichkeit (mismatch) von ankommender Information mit bereits vorhandenem Wissen (prior knowledge), die nicht sofort aufgelöst werden kann, wenn also neue Information nicht in bestehende Denkstrukturen (mental models) eingefügt (integrated) werden kann, [22]
  • 2) Es Widersprüche im Strom einlaufender Informationen gibt. [22]

Konfusion wird als eine typische Emotion im Zusammenhang mit komplexen Lerngegenständen beschrieben. Das Lernen kann von verschiedenen Emotionen wie etwa Frustration, Langeweile (boredom), Hingabe (engagement), Versenkung (flow), Aha-Erlebnissen (eureka) und eben Konfusion begleitet werden. [22] Messbare Lernerfolge gingen am ehesten mit der Konfusion einher. [22] Manche Autoren sprechen deshalb auch von einem produktiven Scheitern (productive failure). [23]

Das Auflösen von Konfusion erfordert die Lernenden anzuhalten (stop), zu denken, sich vorsichtigen Abwägungen (careful deliberations) hinzugeben, Probleme zu lösen, ihre bestehenden Denkmodelle zu überprüfen (revise). Diese erwünschten Schwierigkeiten (desirable difficulties) regen an (inspire) zu einer tieferen Durchdringung (greated depth of processing) und fördern stabilere Erinnerung (more durable memory) und ein erfolgreicheres Erinnern (more successful retrieval). [22]

Möglicherweise ist eine fruchtbar in das Lernen eingebrachte Konfusion sogar eine notwendige Bedingung, eine Conditio sine qua non für einen Lernenerfolg. So soll eine Analyse von insgesamt 125 Stunden von Unterrichtsgesprächen (tutorial dialogues) gezeigt haben, dass ein Verständnis (comprehension) von Konzepten der Physik selten war, wenn die Lernenden nicht auch Sackgassen (impasse) erreichten. Der Befund hing nicht von der Qualität der Erklärungen seitens der Lehrpersonen (tutors) ab. [22]

Es gibt fruchtbare (productive) und unfruchtbare (unproductive) Konfusion. [22] Offensichtlich unfruchtbar sind nebensächliche (peripheral) Verwirrungen wie jene, wenn man seine Notizen erfolglos sucht oder wenn die Lehrperson immer wieder in eine Fremdsprache wechselt. [22] Produktiv kann nur eine thematisch relevanten (contenxtualizied) Konfusion sein. Und Konfusion hat keinen Nutzen für das Lernen, wenn sie nicht irgendwann zumindest teilweise aufgelöst wird. Lernende, die vorschnell aufgeben sowie eine beständige oder unlösbare Konfusion fördern das Lernen nicht.


ZITAT:

"Eine Lernumgebung muss muss Lernende substantiell herausfordern, kritisches Denken und tieferes Forschen zu zeigen. Verwirrung hilft beim Lernen wenn sie angemessen gehandhabt wird." [29]


Die Autoren der hier mehrfach zitierten Studie aus dem Jahr 2003 sehen in einer geschickt eingesetzten Verwirrung eine Katalysator für tiefergehende Bearbeitung des Lernstoffs (catalyst to engender deeper forms of processing). Es gebe, so die Autoren, eine kausale Verbindung zwischen Konfusion und Deep Learning (causally linking confusion and deep learning).

Beispiele


Seit dem Jahr 2005 unterrichte ich Mathematik und Physik, seit 2010 in einer Lernwerkstatt in Aachen. Dabei komme ich mir Lernenden vom Vorschulalter bis ins Studium, mit Kindern mit einer schweren Dyskalkulien oder einer ausgeprägten Hochbegabung und mit naturwissenschaftlich hochinteressierten oder desinteressierten Kindern zusammen. Immer wieder konnte ich beobachten, wie Lernende recht deutlich eine Konfusion äußerten. Der Anlass war oft, dass sie einen Widerspruch in Erklärungen selbst oder mit vorhandenem (Schein)Wissen spürten. Oft war die Konfusion nur ein Gefühl "etwas nicht zu verstehen", ohne es genau benennen zu können. Erst im gemeinsamen Dialog, einer Art Explikation, konnte der Grund für die Verwirrung dingfest gemacht werden. Hier stehen einige Beispiele aus unserer Lernwerkstatt in Aachen.

Tellurium confundens


In einem "Wissenschaftsspiel" wird für Kinder ab 9 Jahren die Entstehung der Mondphasen mit einem kleinen Modell aus Plastik erklärt. [20] Das Modell hat jedoch einen Fehler:

  • Sonne, Mond und Erde haben im Modell alle in etwa dieselbe Größe.
  • Die drei Himmelskörper bewegen sich ausschließlich auf der Tischfläche entlang.
  • Der Mond umkreist die Erde.
  • Steht der Mond genau zwischen Sonne und Erde ist Neumond.
  • Steht der Mond genau gegenüber der Erde ist Vollmond.

Wo ist der Fehler? Wache Kinder erkennen den Fehler oft von alleine, wenn man das Model in Ruhe bespricht. Den Widerspruch erkennen können viele Kinder. Die Auflösung ist jedoch deutlich schwieriger. Die Lösung zu diesem Problem steht im Artikel zum Tellurium confundans (externer Link)

Die unmöglichen Flutberge


Die Erklärung von Ebbe und Flut gehört zum Standardrepertoire vieler Bücher, Internetseiten oder auch Erklärtafeln in Museen. Dabei taucht immer wieder auch das Wort Flutberg (seltener auch Ebbtal) auf, oft in Verbindung mit einer Zeichnung. Hier sind die Kernidee einiger Darstellungen wieder gegeben. In Kombination mit etwas Wissen über die wahren Begebenheiten an Küsten wird ein Widerspruch erkennbar.

  • Erde und Mond sind als zwei Kreise gezeichnet.
  • Der Mond ist deutlich kleiner und vielleicht 5 bis 10 Erddurchmesser von der Erde entfernt (in der Zeichnung).
  • Auf der Oberfläche der Erde, also auf der Kreislinie, ist eine blaue Wasserhülle eingezeichnet.
  • Die Wasserhülle ist zum Mond hin ausgebeult.
  • Die Wasserhülle ist auf der mondabgewandten Seite ausgebeult.
  • Die Position der Beulen, der zwei Flutberge, relativ zum Mond bleibt immer gleich.
  • Durch die Eigenrotation der Erde wandert jeder Punkt der Erde (außer Nord- und Südpol) zweimal am Tag unter einem Flutberg hindurch.

Trickreich bei dieser Darstellung ist die Erklärung des zweiten Flutberges, dem auf der mondabgewandten Seite der Erde. Die wirkliche Erklärung ist recht schwierig zu verstehen und wird hier nicht behandelt. Sie wird erklärt im Artikel zur Gezeitenkraft. [30] In Lehrbüchern, Atlanten oder Museumstafeln werden oft Begriffe wie Gravitations- und Fliehkraft, gemeinsamer Schwerpunkt (Baryzentrum) etc. verwendet. Bereits hieraus kann eine beträchtliche Verwirrung entstehen, weil man nicht Schritt-für-Schritt aus diesem vielleicht bekannten Prinzipien die Entstehung von Flutbergen herleiten kann. Doch zu dieser Verwirrung aufgrund von Lücken in der Argumentation kommt eine zweite Verwirrung. Nur wer aufmerksam Ebbe und Flut an einer echten Küste studiert und aktiv denkerisch mit dem Modell verbindet, kann den Widerspruch erkennen. Ich schreibe Fakten vom realen Gezeitengeschehen auf den Weltmeeren auf. Wo ist der Widerspruch zu dem Flutberg-Modell wie oben beschrieben?

  • Es gibt Punkte auf dem offenen Meer ohne Ebbe und Flut, also ohne Tidenhub. Dort gibt es keinen Flutberg.
  • Die ostfriesischen Insel verlaufen über etwa 65 km von West nach Ost. Die Flutwellte braucht für diese Strecke etwa 50 min. [31]

Wieder ist die Frage: wo ist der Widerspruch? Die zwei Aussagen über die Realität an der deutschen Nordseeküste ist logisch nicht verträglich mit den Aussagen zum Modell von zwei Flutbergen wie oben skizziert. Hin zu einer Lösung geht es über den Artikel über den hypothetischen 👉 Flutberg

Motorverbesserung


Klasse 6, Physik, 2026: ein Junge sollte aus ihm gegebenen Drähten und Bastelmaterialien einen möglichst starken Elektromagneten bauen. Im Laufe mehrerer Gespräche an einem zusammenhängenden Tag bekam er dann getrennt die zwei Informationen, dass a) die Wicklungen realer Elektromagnete meist aus Kupferdraht sind, b) Kupfer nicht nicht magnetisch ist und c) Eisen Magnetismus verstärkt. Warum, so der Junge, wickelt man dann Elektromagnete nicht mit Drähten aus Eisen sondern aus Kupfer?

Römerstraßen


Klasse 5, Naturwissenschaften, 2026: mit einem Mädchen suchte ich ihm Rahmen eines längereren Projektes zum Bau eine kilometerlangen Planetenwegs geeignete gerade Straßen oder Wege rund um Aachen. Zwei über 3,5 lange Abschnitte fielen auf einer Karte ins Auge. Ich erzählte dann, dass dies wahrscheinlich Teile alter Römerstraßen seien, da die "Alten Römer" ihre Straßen immer gerade gebaut hätten. Kurz darauf wandte das Mädchen ein: haben sie dann ihre Straße auch gerade über Gipfel von Bergen oder über Gewässer gezogen? Und vor allem: warum haben sie ihre Straßen gerade gebaut. Ich konnte keine Antwort geben.

Flache Hochpunkte


Hoch- und Tiefpunkte werden in der Schulmathematik oft im Thema Analysis betrachtet. Sie werden meist über die erste und zweite Ableitung definiert. In der höheren Mathematik hingegen werden diese Punkte oft über die relative Lage zu ihren Nachbarpunkten definiert:


ZITAT:

"Der Hochpunkt (Extremum) als Punkt der gleich hoch oder höher als andere Punkte [im betrachteten Bereich]" [32]


Man kann diese Definition mit bereits bekanntem Wissen abgleichen. So kann man sich zum Beispiel fragen, ob der Graph einer konstanten Funktion einen Hochpunkt hat oder nicht. Der Graph einer konstanten Funktion verläuft parallel zur x-Achse. Streng auf konstante Funktionen angewendet folgt, dass jeder Punkt einer konstanten Funktion gleichzeitig auch ein Hochpunkt ist. Macht das Sinn? Ist es das, was man unter einem Hochpunkt verstehen möchte? Passt die oben zitierte Definition aus einem renommierten Fachlexikon zur Mathematik zur schulmathematischen Definition, dass für einen Hochpunkt die Bedingung gelten muss, dass dort der Wert der zweiten Ableitung f''(x) nicht Null sein darf, der Graph also irgendwie gekrümmt sein muss? Und die Verwirrung kann noch weiter dadurch gesteigert werden, dass selbst Fachbücher ihre Definition untereinander nicht abstimmen und es so auch widersprüchliche, konkurrierende Definitionen gibt. [33] Siehe mehr zum Verwirrungspotential der Definition eines Hochpunktes im Artikel 👉 Hochpunkt als Alogismus

Schneidendes Berühren


Klasse 10, Mathematik, 2022: im Zusammenhang mit Tangenten und Sekanten wurde das Wort berühren verwendet. Eine Gerade g und der Graph einer Funktion f berühren sich genau dann, wenn sie einen Punkt gemeinsam haben. Die Schülerin arbeitete einen Widerspruch mit dem Alltagsverständis von Berühren heraus: berühren sich zwei Körper (etwa zwei Finger), dann gibt es keine Körperteile des einen Fingers, der gleichzeitig auch ein Körperteil des anderes Fingers wären. Berühren heist hier also, dass die zwei betreffenden Objekte keine gemeinsamen Punkte haben. Aber genau darüber, gemeinsame Punkte, wird Berühren im mathematischen Sinn definiert. siehe auch 👉 berühren

Doppelspalt


Klasse 12, Physik, etwa 2016: Beim Doppelspaltexperiment gehen von jedem Spalt neue Wellenzüge aus. Sie kommen an einem gemeinsamen Punkt auf dem Schirm an. Die Weglängen waren dabei deutlich unterschiedlich. Muss ein Wellenzug dann nicht schneller sein als der andere? Die Frage ist sehr berechtigt, wird aber üblicherweise im Physikunterricht in der Schule nicht besprochen. Übliche Darstellung zeichnen statische Wellenzüge ohne zeitliche Veränderung. siehe auch 👉 Doppelspaltexperiment

Geschwindigkeit


Klasse 9, Physik, 2024: berechnet werden sollte die Geschwindigkeit einer Ameise in der Einheit Zentimeter pro Sekunde. In einem kurzen Film sah man eine Ameise in einem kurzen Sprint über eine Strecke von 1,8 cm, wofür das Tierchen 0,3 s benötigte. Ein schüler sagte, die Ameise habe gar keine Geschwindigkeit in cm/s, da sie ja keine ganze Sekunde lief sondern weniger. Der Einwand ist berechtigt. Erst wenn man ergänzt, dass a) die Geschwindigkeit die auf eine Sekunde hochgerechnete Geschwindigkeit meint, oder b) die Geschwindigkeit das Verhältnis der "Zentimeterzahl" zur "sekundenzahl" meint, macht das Wort Geschwindigkeit Sinn.

Halbieren


Klasse 6, Mathematik, etwa 2010: Auf die Frage, was 8 halbiert gibt, antwortete eine Schülerin mit dem Gefühl des Unverständnisses. Ihre Antwort war dann acht. Also: acht halbiert gibt wieder acht. Ihr - sehr passendes - Argument war: wenn man ein ganzes Brot halbiert, dann teilt man es in zwei gleich große Stücke. Man hat danach also immer noch genauso viel Brot wie vorher. Wo soll der Fehler in dieser Argumentation sein? Lies mehr unter 👉 Halbieren als Alogismus

Stromstärke


Klasse 6, Physik, 2022: einem Schüler wurde eine vage Definition von Stromstärke gegeben: "wie viele Stromteilchen irgendwo fließen". Nach kurzem Überlegen frug er nach: wenn man eine Starkstromleitung sieht, kann man sich ja einem Meter Leitung ansehen oder auch zwei Meter. Die zwei Meter hätten dann ja mehr Stromstärke. Er präzisierte dann seinen Gedanken sofort selbst weiter (sinngemäß): oder ist die Stromstärke immer bezogen auf einen Meter Leitungslänge? Das Bemerkenswerte hier ist, dass der Schüler sofort die Mehrdeutigkeit der ihm gegebenen Definition erkannte. siehe auch 👉 Stromstärke

Emissionsspektrum


Klasse 12, Physik, 2025: in der Schule wurde im Rahmen des Bohrschen Atommodells das Wort Emissionsspektrum am Beispiel des Wasserstoffs eingeführt. Für den Schüler war ein Spektrum aber eine kontinuierliche Lichterscheinung mit lückenlosen Übergängen zwischen den Farben, etwa wie bei den Spektralfarben im Regenbogen. Als Analogon erwähnte er die reellen Zahlen im Vergleich zu den natürlichen Farben. Das "Spektrum" des Wasserstoffs besteht aber aus einzelnen voneinander getrennten Lichtstreifen, wäre also demnach kein Spektrum im eigentlichen Sinn. Die "Verwirrung" ist berechtigt, wie eine Erklärung im Brockhaus zeigte, wo eine engere und eine weitere Bedeutung von Spektrum unterschieden werden. [19] Siehe dazu den Artikel zur allgemeinen Bedeutung von 👉 Spektrum

Selbsterkenntnis


Klasse 5, Lernwerkstatt, 2025: ein Junge, der in unserer Lernwerkstatt angemeldet wurde weil er wissbegierig ist und viele Versuche machen wollte, bemerkte einmal, ohne jeden äußeren Anlass: wenn man sich in einem Spiegel betrachtet und auf einem Photo von einem Handy, was ist dann das 'echtere' Ich? Wie kann man herausfinden, wie man wirklich aussieht? In einem kurzen Gespräch darauf zeigte der Junge, dass es ihm bewusst war, dass es kein der Wirklichkeit getreues Abbild des eigenen Gesichts geben kann. Man kann sich nicht selbst direkt sehen. Was hier wie eine flüchtige weltfremde Marotte erscheinen mag, ist in der Philosophie ein notorisches Problem. [17] siehe dazu auch 👉 Beobachtereffekt

Fußnoten


  • [1] Intelligent confusion als ein Ausgangspunkt von Lernen: "Kroll describes intellectual growth as the progression from ignorant certainty to intelligent confusion. Many entering college students are firmly rooted in ignorant certainty. Their beliefs about the world are clear, absolute, and based entirely on what they have been told by others—parents, teachers, and influential peers. They have never subjected these beliefs to critical questioning or looked for evidence to test their validity." In: Richard M. Felder: The Intellectual Development of science and Engineering students. Part 1. Models and Challenges. In: Journal of Engineering Education 93(4). October 2004. Online: https://www.engr.ncsu.edu/wp-content/uploads/drive/1d4H9WeK9gIsa-PpnYULzxxZ4rzWej5Io/2004-Intellectual%20Development%20-%20I.pdf
  • [2] From Ignorant Certainty to Intelligent Confusion: Intellectual Development in College students. Lehrerfortbildung: U-M Graduate Teacher Certificate: Requirement B2. 11. November 2009. Center for Research on Learning & Teaching. Michigan University. UsA.
  • [3] "This cognitive dissonance leads to "identity confusion" an analogous to "intelligent confusion" In: rs Zaharna: self-shock: The Double-Binding Challenge of Identity. International Journal of Intercultural Relations 13(4):501-525. December 1989. DOI:10.1016/0147-1767(89)90026-6
  • [4] Angell, C., Guttersrud, Ø., Henriksen, E. K., & Isnes, A. (2004). Physics: Frightful, but fun. Pupils' and teachers' views of physics and physics teaching. science Education, 88(5),683-706.Baran, M. (2016). An analysis on high school students' perceptions of physics courses in terms of gender (A sample from Turkey). Journal of Education and Training studies, 4(3),150-160.
  • [5] Baran, M. (2016). An analysis on high school students' perceptions of physics courses in terms of gender (A sample from Turkey). Journal of Education and Training studies, 4(3),150-160.
  • [6] Ekici, E. (2016). " Why do I slog through the physics?" Understanding high school students'difficulties in learning physics. Journal of Education and Practice, 7(7), 95-107.
  • [7] Erinosho, s. Y. (2013). How do students perceive the difficulty of physics in secondary school? An exploratory study in Nigeria. International Journal for Cross-Disciplinary subjectsin Education, 3(3), 1510-1515.
  • [8] Lavonen, J., Angell, C., Bymen, R., Henriksen, E. K., & Koponen, I. T. (2007): Socialinteraction in upper secondary physics classrooms in Finland and Norway: A survey ofstudents' expectations. scandinavian Journal of Educational Research, 51(1), 81-101.
  • [9] Ogunleye, A. O. (2009). Teachers and students perceptions of students problem-solving difficulties in physics: Implications for remediation. Journal of College Teaching &Learning (TLC), 6(7).
  • [10] Ornek, F., Robinson, W. R., & Haugan, M. P. (2008): What makes physics difficult? International Journal of Environmental and science Education, 3(1), 30-34.
  • [11] saleh, s. (2014). Malaysian students' motivation towards physics learning. European Journalof science and Mathematics Education, 2(4), 223-232.
  • [12] Trumper, R. (2006). Factors affecting junior high school student's interest in physics. Journal of science Education and Technology, 15(1), 47-58.
  • [13] Wangchuk, Damcho & Wangdi, Dumcho & Tshomo, sonam & Zangmo, Jampel. (2023). Exploring students’ Perceived Difficulties of Learning Physics. Educational Innovation and Practice. 6. 10.17102/eip.6.2023.03.
  • [14] Ein gutes Beispiel ist der nur selten thematisierte Unterschied zwischen einem Weg-Zeit-Diagramm (s-t) und einem Ort-Zeit-Diagramm (x-t). Man denke das einmal selbst am Beispiel des zurückgelegten Weges (s) oder der aktuellen Position (x) der spitze eines Uhrzeigers auf einem Ziffernblatt durch. Letzteres führt schon bei einer gleichmäsigen Bewegung zu Zick-Zack-Funktionen, die nicht mehr überall differenzierbar sind. solche äuserlich kaum erkennbar aber konzeptuell wichtigen Unterscheidungen können intelligente schüler schnell verwirren. siehe als Einstieg dazu 👉 Ort-Zeit-Diagramm
  • [15] Der Übergang vom diskreten Denken hin zum Kontinuumsdenken findet unreflektiert meist mit der Einführung von Brüchen und "Kommazahlen" in der Klasse 5 statt. Im Grenzwertgedanken wird der Gedanke dann grundlegend für das Verständnis der Mathematik. Die weitreichenden Folgen für die Physik bleiben meist unerwähnt. siehe auch 👉 Kontinuum
  • [16] Die Worte Ursache und Wirkung werden in fast allen Physik-Büchern verwendet. Philosophisch sind die Begriffe aber äuserst schwer zu fassen. Intelligente schüler spüren intuitiv die Probleme, können diese aber meist nicht alleine lösen und geraten so in einen Zustand der Verwirrung. siehe auch 👉 Kausalität
  • [17] Dass Problem, dass man sich nicht selbst beobachten kann, ist eines der Leitfäden von Jiddu Krishnamurtis Philosophie. Er thematisierte es unter der Phrase vom "observer and the observed".
  • [18] Der Zweifel ist ein natürlicher Begleiter des Verstandes. Denn Irrtum möchte er vermeiden: "Der Verstand selbst beruhigt sich bey Zweifeln und Ungewißheit nicht. Es ist natürlich, das er suche, Gewißheit zu finden. Man weiß, daß man sich bey dem Irrthum zuletzt nur betrogen findet. Es ist natürlich, das man suche, ihn zu vermeyden." In: Johann Heinrich Lambert: Neues Organon oder Gedanken über die Erforschung und Bezeichnung des Wahren und dessen Unterscheidung vom Irrthum und Schein. Leipzig 1764. Dort früh im Text in der Vorrede.
  • [19] Als Spektrum bezeichnet man heute "jede Häufigkeits- oder Intensitätsverteilung der von einer physikalischen Größe angenommen Werte". Aber: "Ursprünglich verstand man unter Spektrum nur das farbige Lichtband, das entsteht, wenn man weißes Licht (z. B. Sonnenlicht) durch einen Spalt auf ein Prisma oder Gitter fällt …" In: Brockhaus in Achtzehn Bänden. F. A. Brockhaus. Leipzig, Mannheim. 2002. ISBN für alle Achtzehn Bände gemeinsam: 3-7653-9320-7. Dort der Band 13, Seite 200. Siehe auch 👉 Spektrum
  • [20] Gemeint ist das "Wissenschaftsspiel" mit dem Namen "Das Sonnensystem" von der Firma Clementoni GmbH aus Baden Baden. Das Spiel wurde erstellt unter der wissenschaftlichen Beratung von Prof. Giuliano Menghini. Siehe mehr dazu im Artikel zur 👉 Übersimplifizierung
  • [24] Lodge, Jason M., Greg Kennedy, Lori Lockyer, Alice Arguel, and Marek Pachman: Understanding Difficulties and Resulting Confusion in Learning: An Integrative Review. In: Frontiers in Education* 3 (2018): 49. Online: https://doi.org/10.3389/feduc.2018.00049
  • [25] Bjork, Robert A., and Elizabeth L. Bjork: Making Things Hard on Yourself, but in a Good Way: Creating Desirable Difficulties to Enhance Learning. In: Psychology and the Real World: Essays Illustrating Fundamental Contributions to Society. Edited by Morton A. Gernsbacher, Richard W. Pew, Leaetta Hough, and James R. Pomerantz, 56–64. New York: Worth Publishers, 2011. Online: https://bjorklab.psych.ucla.edu/wp-content/uploads/sites/13/2016/07/BjorkBjork2011.pdf
  • [26] "It is often assumed that confidence and certainty are preferred over uncertainty and confusion during learning. It is also frequently assumed that the role of a human mentor or intelligent educational technology is to dynamically tailor the instruction to match the knowledge and skills of the learner, so that states of uncertainty and confusion can be minimized. Furthermore, if and when a learner does get confused, the common instructional strategy is to quickly identify the source of the confusion and provide explanations and other scaffolds to alleviate the confusion." In: D’Mello, Sidney K., and Arthur C. Graesser: Dynamics of Affective States during Complex Learning. In: Learning and Instruction 22, no. 2 (2012): 145–157. Online: https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2011.10.001
  • [27] "we consider confusion to be an epistemic or a knowledge emotion because it arises out of information-oriented appraisals of the extent to which incoming information aligns with existing knowledge structures and whether there are inconsistencies and other discrepancies in the information stream." In: D’Mello, Sidney K., and Arthur C. Graesser: Dynamics of Affective States during Complex Learning. In: Learning and Instruction 22, no. 2 (2012): 145–157. Online: https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2011.10.001
  • [28] Ein Beispiel ist das Wort Strahl in den Strahlensätzen der Mathematik. Hier frug ein Schüler mit einer Neigung zum tieferen Hinterfragen, was ein Strahl sei und ob die Idee eines Strahls (gerade Linie mit Anfang aber ohne Ende) gegenüber einer Geraden (gerade Linie ohne Anfang und ohne Ende) für den Strahlensatz wichtig sei. Tatsächlich verwenden übliche Skizzen zum Strahlensatz zwei sich kreuzende und zwei zueinander parallele Geraden. In keinem Lehrbuch konnte ich einen Hinweis finden, woher die Namensgebung stammt und ob es etwa falsch wäre, von Geraden anstatt von Strahlen zu sprechen. Siehe mehr unter 👉 Strahlensatz als Alogismus
  • [29] "learning environments need to substantially challenge learners in order to elicit critical thought and deep inquiry. The claim is that confusion can be beneficial to learning if appropriately regulated because it can cause individuals to process the material more deeply in order to resolve their confusion." In: D’Mello, Sidney K., and Arthur C. Graesser: Dynamics of Affective States during Complex Learning. In: Learning and Instruction 22, no. 2 (2012): 145–157. Online: https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2011.10.001
  • [30] Die Entstehung von Ebbe und Flut und das Zerreissen von Monden, die ihrem Zentralplaneten zu nahe kommen (Saturnringe!) gehen auf dieselbe physikalische Logik zurück. Das ist erklärt im Artikel 👉 Gezeitenkraft
  • [31] Die ostfriesischen Inseln erstrecken sich von West nach Ost über eine Länge von etwa 65 Kilometer. Der Flutberg, die höchste Phase der Flutwelle, benötigt für diese Strecke etwa 50 min (East Frisian wadden: Their model domain has a total length of 65 km. The corresponding
phase shift is approximately 50 min.) In: Alger Werft: Surface Wave Modelling in the Wadden Sea. Diplomarbeit. Institut für Chemie und Biologie des Meeres. Carl-von-Ossietzky Universität Oldenburg. 2003. Online: https://www.iow.de/files/staff/burchard/pdf/thesis_werft.pdf
  • [32] "Der Hochpunkt (Extremum) als Punkt der gleich hoch oder höher als andere Punkte": Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7. Siehe auch 👉 Hochpunkt
  • [33] Das Lehrbuch "Papula" definiert lokale Extremwerte, zu denen auch lokale Hochpunkte gehören: "Eine Funktion y=f(x) besitzt an der Stelle xo ein relatives Maximum bzw. ein relatives Minimum, wenn in einer gewissen Umgebung von xo stets f(x) = f(x) bzw. f(xo) < f(x) ist (mit x ungleich xo)." Damit hat f(x)=5 keine lokalen Extremwerte. Quelle: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-0561-3. Verlag Springer Vieweg. Siehe auch 👉 Hochpunkt als Alogismus


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