Grundidee

Die Bezeichnung „Calvins Würfel“ steht hier für ein modellhaftes Experiment aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Von zwei Würfeln wird einer bei Bedarf so manipuliert, dass der „Gang der Welt“ eine bestimmte Richtung nimmt. Die Frage ist, ob eine bloße Analyse einer großen Anzahl der Würfe des so manipulierten Würfels statistisch als Abweichung von einer reinen Zufallsverteilung erkennbar wäre.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Der Spieler vorne im Bild darf und muss den rechten Würfel immer so "korrigieren", dass beide Würfel immer dieselbe Zahl anzeigen. Nach jedem Wurf legt er den nötigenfalls manipulierten Würfel oben auf die Scheibe. Die Spielerin gegenüber notiert alle Ergebnisse. Nach zum Beispiel 100 solchen Spielrunden soll sich statistisch begründet entscheiden, ob der Würfel ab und zu manipuliert wurde oder nicht. Hat sie eine Chance, das mit einiger Zuverlässigkeit entscheiden zu können? © Gunter Heim/Gemini ☛

Einführung

Die Werke des großen englischen Dichters William Shakespeare leben oft von scheinbaren Zufälligkeiten, die zunächst belanglos in sich erscheinen mögen. Es sind aber diese Zufälligkeiten, die der Handlung ihre oft dramatische Wendung geben. So erleiden Romeo und Julia den Tod, weil ein Brief nicht rechtzeitig zugestellt worden ist und Cäsar, weil er eine Warnung per Zufall nicht erhalten hatte.^[2]

ZITAT:

William Shakespeare: "Reckoning time, whose million'd accidents Creep in 'twixt vows, and change decrees of kings, Tarn sacred beauty, blunt the sharp'st intents, Divert strong minds to the course of altering things."^[3]

Auf Deutsch sagt Shakespeare hier sinngemäß, dass mit der Zeit viele Zufälligkeiten in unser Tun einsickern. Sie ändern die Pläne von Königen, trüben die größte Schönheit, stumpfen die schärfsten Absichten und zwingen selbst starke Geister hin zum vorgesehen Gang der Welt.

Poetisch

Diese Auffassung von Zufall, Glück, dem Spiel der Göttin Fortuna dem Schicksal kann als poetisch oder religiös beschrieben werden. Die religiöse Sicht werden wir gleich durch den Reformator Johannes Calvin kennen lernen. Der scheinbare Zufall ist dabei immer an einem zukünftigen Ziel ausgerichtet. In der Philosophie spricht man von einer Causa finalis (Endzweck), einer teleologischen Weltsicht, einer göttlichen Vorhersehung, einem Occasionalismus und Ähnlichem. Wo der Gang der ganzen Menschheit so auf ein Ziel hin abrollt, spricht man auch von einem 👉 Weltprozess

Mathematisch

Dieser poetisch-religiösen Auffassung von Zufall steht der mathematische Begriff der Wahrscheinlichkeit und des Zufalls gegenüber. Der mathematische Begriff geht ganz im Gegenteil zur Poesie und Religion davon aus, dass der Zufall ganz ungerichtet ist, keinerlei "statistische Abhängigkeit" zu irgendwelchen Abläufen im Weltgeschehen hat. Der Zufall verfolgt keine Ziele, ist kein Teil eines Weltprozesses hin auf ein Endziel. Siehe auch 👉 Zufall

Lassen sich die poetische und die mathematische Auffassung von Zufall versöhnen? Gibt es eine Schnittmenge, bei denen die zwei Vorstellungen nicht zu unterscheiden sind? Könnte es sein, dass die vielen Zufälligkeiten in der Welt letzten Endes von uns verborgenen Logiken gesteuert sind? Diese Frage soll hier mit einem einfachen Würfelexperiment näher betrachtet werden.

VERMUTUNG:

Es könnte wiederholt stattfindende Ereignisse geben, die steuernd ins Weltgeschehen eingreifen, die aber bei einer isolierten Betrachtung ganz wie perfekter Zufall aussehen, obwohl sie manipuliert sind.

Version I: trivial

In jeder Spielrunde wird mit zwei identischen Würfeln geworfen. Jeder der Würfel hat drei Seiten die eine 0 zeigen und drei Seiten die eine 1 zeigen. Der eine Würfel wird willkürlich als linker, der andere als rechter Würfel bezeichnet. Der rechte, und nur der rechte Würfel darf und muss von einer Person die wir hier Demiurg nennen manipuliert werden. Der rechte Würfel ist bei Bedarf so zu manipulieren, dass beide Würfel immer dieselbe Zahl anzeigen. Hier einige Beispiele.

Geworfen: 0 0 -> keine Manipulation

Geworfen: 0 1 -> rechter Würfel wird auf 0 gedreht

Geworfen: 1 0 -> rechter Würfel wird auf 1 gedreht

Geworfen: 1 1 -> keine Manipulation

Es werden beliebig viele solche Spielrunden wiederholt. Eine zweite Person, der Beobachter, bekommt immer nur das Ergebnis des rechten Würfels gezeigt. Die Aufgabe des Beobachters ist es, eine Methode zu finden, mit der er entscheiden kann, ob der rechte Würfel über eine größere Anzahl von Spielrunden hinweg manipuliert wurde oder nicht. Der Beobachter muss also Kriterien dafür finden, ob oder inwiefern die Liste der geworfenen Zahlen von einer reinen Zufallsverteilung abweicht. Ein denkbarer Ansatz wäre ein Hypothesentest im Sinne der Stochastik.

VERMUTUNG:

Ein Würfel kann gezielt so manipuliert werden, dass er auf eine teleologische Weise einen makroskopischen Zustand herbeiführt. Die Manipulation ist aber prinzipiell nicht erkennbar, solange nur die zeitlich sich verändernden Zustände des manipulierten Würfels alleine betrachtet werden.

Tatsächlich ist das Experiment trivial in dem Sinne dass die Lösung eigentlich offensichtlich ist. Denn die letztendliche nach der gegebenenfalls nötigen Manipulation angezeigte Zahl des rechten Würfels ist eine eindeutige Funktion der geworfenen Zahl des ersten Würfels. Der zweite Würfel zeigt nach der Manipulation immer dasselbe an wie der erste Würfel. Und da die Anzeige des linken Würfels einer Zufallsverteilung entspricht, müssen auch die Ergebnisse des rechten Würfels eine solche Zufallsverteilung ergeben.

Version II: unklar

In einer zweiten Version wird wieder mit zwei Würfeln geworfen. Dieses Mal sind es normale und faire Spielwürfel mit Ziffern von 1 bis 6 auf den Seiten. Wieder wirft ein Spieler zwei Würfel. Zuerst wird der Würfel auf der linken Tischseite geworfen, dann der Würfel auf der rechten Tischseite. Die Summe beider Würfel soll nun immer eine gerade Zahl sein. Um das sicher zu stellen, muss der der rechte Würfel im Bedarfsfalle so oft erneut geworfen werden, bis die Summe der zwei Zahlen von linken und rechtem Würfel eine gerade Zahl ergibt. Wieder bekommt der Beobachter nur die Ergebnisse des letztendlich gewerteten Wurfes des rechten Würfels gezeigt.

VERMUTUNG:

Die Zahlenfolge des rechten Würfels ist vollkommen zufällig. In ihr kann kein Muster erkannt werden. Dennoch stellen die geworfenen Ziffern sicher, dass immer nur einer von mehreren makroskopischen Mustern realisiert wird, nämlich eine geradzahlige Summe von zwei geworfenen Würfeln.

Anders als bei der trivialen Version ist jetzt die Augenzahl des zweiten Würfels keine eindeutige Funktion der Augenzahl des ersten Würfels mehr. Man kann nun also sagen, dass die Augenzahl des interessierenden zweiten Würfels tatsächlich ganz zufällig entstanden ist.

Zur Namensgebung

Das Experiment wird hier nach dem Schweizer Reformator Johannes Calvin (1509 bis 1564) benannt. Calvin hat mit klaren Sätzen dargelegt, dass er nichts in der Welt für zufällig hält. Vielmehr sieht er überall Gottes steuerndes Eingreifen am Werk. Und Gott verfolgt mit seinen Eingriffen immer auch ein für uns nicht erkennbares höheres Ziel.

ZITAT:

Calvin, 1560: "Der Zufall, wie man ihn gewöhnlich nennt, wird möglicherweise durch eine verborgene Lenkung geführt; und wir nennen nur das Zufall, was geschieht, ohne dass uns seine Ursache und sein Grund erscheinen." […] "Ich sage also: Obwohl alle Dinge durch den Ratschluss Gottes gelenkt werden, erscheinen sie uns dennoch als zufällig. Nicht etwa, dass wir meinen, der Zufall herrsche über die Menschen und drehe alles willkürlich nach oben und unten – denn diese Vorstellung muss einem christlichen Herzen fernliegen –, sondern weil bei den Dingen, die geschehen, Ordnung, Grund, Ziel und Notwendigkeit im Ratschluss Gottes meist verborgen sind und vom menschlichen Urteil nicht erfasst werden können. Die Dinge, von denen wir gewiss wissen, dass sie aus dem Willen Gottes hervorgehen, erscheinen uns daher gleichsam zufällig; denn wenn man sie ihrer Natur nach betrachtet oder nach unserem Urteil und unserer Erkenntnis beurteilt, zeigen sie keine andere Gestalt."^[1]

Was bei Calvin der Eingriff Gottes ins Weltgeschehen ist, ist im Würfelversuch die Manipulation des rechten Würfels. Und was bei Calvin Gottes "Ordnung", "Grund" oder "Ziel" heißt, ist im Versuch die Gleichheit der beiden Zahlen, die spätestens nach der Manipulation sich eingestellt hat.

Fußnoten

[1] Calvin im französischen Original von 1560: "La fortune, qu’on appelle communement, est possible conduite par un gouvernement caché: et appelons seulement Fortune, ce qui se fait sans que la cause et la raison nous en apparoisse." Und: "Je di donques, combien que toutes choses soyent conduites par le conseil de Dieu, toutesfois qu’elles nous sont fortuites. Non pas que nous reputions fortune dominer sur les hommes, pour tourner haut et bas toutes choses temerairement (car ceste resverie doit estre loin d’un cœur Chrestien): mais pource que des choses qui adviennent, l’ordre, la raison, la fin et necessité est le plus souvent cachée au conseil de Dieu, et ne peut estre comprinse par l’opinion humaine, les choses que nous savons certainement provenir de la volonté de Dieu, nous sont quasi fortuites: car elles ne monstrent point autre apparence, quand on les considere en leur nature, ou quand elles sont estimées selon nostre jugement et cognoissance." In: Calvin: Institution de la religion chrestienne (1560). Dort im Kapitel 16. Calvin hatte die französische Übersetzung seiner lateinischen Urschrift selbst besorgt.

[2] Einige Beispiele zum Einfluss des Zufälligen in den Stücken von Shakespeare. Richards II. Untergang beginnt mit einem momentanen Impuls, Desdemonas Tod hängt am zufälligen Fallen eines Taschentuchs, Romeo und Julias Tod am Scheitern einer Briefübermittlung, Caesars Tod daran, dass er die Warnung des Artemidorus nicht rechtzeitig liest, und Wolseys Sturz an einem kleinen Versehen. Sinngemäß angeführt in: Simon Augustine Blackmore: The Riddles of Hamlet. Boston: Stratford & company, 1917. Shakespeare Online. 2 Aug. 2011. Online: http://www.shakespeare-online.com/plays/hamlet/divineprovidence.html

[3] William Shakespeare: Sonnet 115. Dass Shakespeares Werke ihre Dynamik oft gerade dadurch erhalten, dass kleine zufällige Geschehnisse den Gang der großen Dinge beeinflussen, und dass die Werke damit auch Shakespeares religiöse Anerkennung einer göttlichen Fügung (divine providence) zum Ausdruck bringen, ist das zentrale Argument in: Simon Augustine Blackmore: The Riddles of Hamlet. Boston: Stratford & company, 1917. Shakespeare Online. 2 Aug. 2011. Online: http://www.shakespeare-online.com/plays/hamlet/divineprovidence.html