Basiswissen

Als Zahlentheorie bezeichnet man ein Teilgebiet der Mathematik, das sich nur mit ganzen Zahlen (ℤ) oder noch enger gefasst nur mit natürlichen Zahlen (ℕ) beschäftigt^[1]^[2]. Speziell die „elementare Zahlentheorie befasst sich mit den Teilbarkeitseigenschaften der ganzen Zahlen^[1]“. Viele Probleme werden erst dadurch zu einem schweren Problem, dass echte Kommazahlen sozusagen verboten sind.

Beispiele

Chowla-Vermutung

Für jede natürliche Zahl kann man herausfinden, ob die Anzahl ihrer Primfaktoren gerade oder ungerade ist. Die Zahl 8 zum Beispiel kann als Malkette aus Primfaktoren geschrieben werden als 1·2·2·2. Das sind insgesamt 4 Primfaktoren. Die Zahl 9 kann man schreiben als 1·3·3. Das sind drei Primfaktoren. Nun ordnete man jeder Zahl mit einer geraden Anzahl von Primfaktoren die 1 zu, jeder Zahl mit einer ungeraden Anzahl von Primfaktoren die Zahl -1. Die 1 und die -1 sind dann die zwei einzig möglichen Funktionswerte der sogenannten Liouville-Funktion. Die Chowla-Vermutung besagt dann, dass man vom Funktionswert einer Zahl nicht statistisch zuverlässig auf den Funktionswert einer Nachbarzahl schließen kann. Siehe mehr unter 👉 Chowla-Vermutung

Collatz-Problem

Beginne mit irgendeiner natürlichen Zahl n > 0.

Ist n gerade, so nimm als nächste Zahl: n / 2

Ist n ungerade, so nimm als nächstes Zahl: 3·n + 1

Wiederhole die Vorgehensweise mit der erhaltenen Zahl.

Man endet früher oder später immer bei 4; 2; 1.

Dieses Triplet wird sich dann ewig wiederholen.

Mehr unter 👉 Collatz-Problem

Dreieckszahlen

Die Summe der n ersten natürlichen Zahlen, beginnend mit der 1, gibt immer eine Zahl, aus der sich ein gleichseitiges Dreieck aufbauen lässt. So kann man aus der Summe 1+2+3+4 ein Dreieck aus Kugeln zeichnen: die unterste Lage hat vier Kugeln. In den Mulden darin sind darüber die nächsten drei Kugeln eingestapelt. In deren Mulden nach oben zwei weitere Kugeln. Und in die verbleibende obere Mulde legt man die letzte verbleibende Kugel. Dreieckszahlen haben überraschende Verbindungen zu den Quadrat- und Kubikzahlen. Siehe mehr unter 👉 Dreieckszahl

Goldbachsche Vermutung

Jede ungerade Zahl größer als 5 kann als Summe von genau drei Primzahlen. Beispiel: die ungerade Zahl 7 ist die Summe der drei Primzahlen 2, 2 und 3. Die ungerade Zahl

Odd number Theorem

Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen, beginnend bei der 1, gibt immer eine Quadratzahl. Zum Beispiel geben die ersten 3 ungeraden Zahlen 1+3+5 = 9. Und neun ist dasselbe wie 3². Siehe mehr unter 👉 Odd number Theorem

Pythagoreische Tripel

3, 4 und 5 bilden ein pythagoreische Tripel, denn 3² + 4² = 5². Drei natürliche Zahlen, von denen die Quadratzahlen zweier der Zahlen das Quadrat der dritten Zahl ergeben, bilden ein 👉 pythagoreisches Tripel

Lernstoff für Hochbegabte

Wer mit jüngeren hochbegabten oder hochinteressierten Kindern zusammen arbeitet wird schnell merken, wie anspruchsvoll es ist, passenden Lernstoff für sie zu finden. Ich zitiere hier einmal mehr oder minder wörtlich ein Hochbegabtes Kind der Klasse 3.

ZITAT:

3. Klasse, 2026: "Ich will Probleme, die jeder kennt. Aber es soll noch keine Lösung dafür geben."

Nun, es gibt Probleme, die jeder Mathematiker und jeder Physiker kennt. Auf der Suche nach ungelösten Problemen wird man schnell fündig. Aber selbst Hochbegabte dürften Probleme kriegen, echte Jahrhundert-Fragen schnell genug für schnelle Erfolgserlebnisse lösen zu können.

Mit der Zahlentheorie jedoch haben wir durchweg gute Erfahren gemacht. Ein großer Vorteil ist, dass man noch keine "Kommazahlen" oder Brüche benutzen muss. Man kommt mit den Zahlen aus, die die Kinder aus der Grundschule kennen. Und sogar die benötigten Rechenarten, bis hin zur Fakultät, lassen sich meist leicht auf plus, minus, mal und geteilt zurückführen.
Als erste Orientierung kann dienen, dass sich Drittklässle etwa 2 bis 5 Stunden intensiv mit dem Odd number Theorem beschäftigten, oder gut 4 Stunden mit der Suche nach pythagoreischen Tripeln. In jedem Fall sollte man das Thema so aufbereiten, dass die Kinder mit Kreativität sehr viel selbst vermuten und prüfen können. Eine große Kreidetafel hat sich dabei als eine besonders große Motivation erwiesen.

Fußnoten

[1] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort die Seite 379. Siehe auch 👉 Der Bronstein

[2] Bereits in einem Lexikon aus dem Jahr 1904 heißt es übereinstimmend mit der heute üblichen Auffassung: "Höhere Arithmetik oder Zahlentheorie heißt die Lehre von den ganzen Zahlen, ihren Teilbarkeitseigenschaften und ihrer Darstellung durch algebraische Formen." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 1 Stuttgart, Leipzig 1904., S. 297-298. Online: http://www.zeno.org/nid/20005958121

[3] Hermann Minkowski: Diophantische Approximationen. Eine Einführung in die Zahlentheorie. Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin. 1907.