Bilderrahmenzahl
Zahlentheorie
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Definition｜
Beispiel｜
Die Schreibweise mit Termen｜
Sinnvolle Rahmen｜
Terme aufstellen｜
Zentrierte Quadrate｜
Ränder mit Eckpunkt-Korrektur｜
Zwei-Rand-Methode｜
Äquivalenz von Termen｜
Denkfrage
Definition
Man legt kleine quadratische Steinchen so, dass ein großer quadratischer Rahmen entsteht. Der Rahmen hat überall eine Dicke von 1. Jede Anzahl von kleinen quadratischen Steinchen, die einen solchen Rahmen bilden, kann man anschaulich als Bilderrahmenzahl bezeichnen.
Beispiel
Man kann aus acht quadratischen Steinchen oder auch aus acht kleinen Würfeln einen Bilderrahmen legen, der 3 Steine lang und 3 Steine hoch ist. In der Mitte bleibt eine freie Fläche, in der ein Bild eingerahmt sein könnte. Beim Achter-Bilderrahmen wäre diese freie Fläche so groß wie ein kleines quadratisches Steinchen.
Die Schreibweise mit Termen
Die Idee der Bilderrahmenzahlen führt zu einem interessanten Aspekten im Zusammenhang mit der Schreibweise und Aufstellung von Termen. Legen wir erst einmal fest, wie wir den Gedanken der Bilderrahmenzahlen mit Termen kurz und übersichtlich aufschreiben könnten.
Das kleine lateinische n soll für die Länge eines Rahmen stehen. Dabei wird die Länge mit der Anzahl der kleinen Quadratsteinchen bezeichnet, die für den Rahmen brauchen. Und der Term T(n) - ausgesprochen als Tee-von-Enn - steht dann für die Anzahl kleiner Quadratsteinchen, die man insgesamt braucht.
- n = Länge eines quadratischen Bilderrahmens
- T(n) = Anzahl der benötigten Steinchen
Wenn man zum Beispiel n=3 wählt, dann meint man damit einen Rahmen, der 3 Steinchen lang und damit auch 3 Steinchen hoch ist. Wenn man so einen Rahmen legt, dann merkt man, dass man insgesamt 8 Steinchen dafür benötigt. Damit kann man schreiben: T(3)=8. Man spricht: Tee-von-drei gleich acht.
Sinnvolle Rahmen
Man kann nun fragen, wie viele kleine Quadratsteinchen man benötigt, um einen Rahmen der Länge und Breite n zu legen. Wenn man also einen Bilderrahmen machen möchte, der 20 Steinchen breit und 20 Steinchen, wie viele Steinchen benötigt man dann dafür insgesamt?
Man kann nun aus praktischen Gründen festlegen, dass ein echter Bilderrahmen innen eine freie Fläche haben muss. Damit ist der kleinste Bilderrahmen, den man legen kann, der Rahmen mit den 8 Steinchen. Man kann zwar aus 4 Steinchen auch ein Quadrat legen. Aber dieses Quadrat hat innen keine freie Fläche. Damit wäre es auch kein sinnvoller Bilderrahmen. In der Symbolsprache der Mathematik kann man schreiben:
- n = Länge eines quadratischen Bilderrahmens
- T(n) = Anzahl der benötigten Steinchen
- n > 2
Mit n > 2 sagt man, dass man nur solche Rahmen betrachtet, die länger sind als zwei Steinchen. Und das sind genau die Rahmen, die innen eine freie Fläche haben.
Terme aufstellen
Angenommen man betreibt einen Internet-Shop. In diesem Shop können sich Kunden am Bildschirm selbst Bilderrahmen erstellen. Diese werden dann später mit einem 3D-Drucker erstellt und verkauft. Der Kunde wählt zunächst mit einem Schieberegler eine Zahl für n aus. Damit sagt er, wie lang und wie hoch der Bilderrahmen sein soll. Dann berechnet die App im Hintergrund wie viele Steinchen oder wie viel Druckermasse dafür nötig ist. Und damit kann die App auch einen Materialpreis berechnen. Um das benötigte Druckermaterial zu berechnen braucht man einen Term, der aus der Länge n des Rahmens die Anzahl T(n) an benötigten Steinchen berechnet. Dazu gibt es mindestens drei anschauliche Ansätze.
Zentrierte Quadrate
Man kann sich vorstellen, dass man zunächst die ganze Quadratfläche mit einer Kantenlänge von n mit Steinchen auslegt. Wenn der Bilderrahmen also 5 Steinchen lang und breit sein soll, dann benötigt man dafür 25 oder allgemein gesagt n² (n² = n·n) Steinchen.
- n² = Anzahl Steinchen für ein großes Quadrat, voll ausgelegt ohne innere Lücke
Dann nimmt man aus der Mitte dieses großen Quadrates ein kleineres Quadrat heraus, was dann die freie Fläche gibt. Dabei macht man das innere, wegzunehmende Quadrat so groß, dass der Rahmen am Ende überall ein Steinchen dick ist. Die Länge dieses inneren Quadrates ist zwei Steinchen kleiner als das große äußere Quadrat, also n-2. Im Beispiel mit dem 5-mal-5 Rahmen wäre das innere Leerquadrat also 3-mal-3 Steinchen groß.
- (n-2)² = Anzahl Steinchen des wegzunehmenden inneren Leerquadrates
Man hat also gedanklich erst das ganze voll ausgelegte Quadrat mit n² Steinchen und zieht dann davon (n-2)² Steinchen wieder ab. In der Termschreibweise:
- n² - (n-2)² = Anzahl der Steinchen für einen Rahmen der Länge n
In der vollständigen Termschreibweise kann man dann als erste Antwort für einen Term zur Berechnung der nötigen Steinchen schreiben:
- T₁(n) = n² - (n-2)² ✓
Die kleine tiefgestellte Zahl 1 unten rechts an dem großen Buchstaben T ist ein sogenannter Index. Der Index soll hier nur anzeigen, dass dies der erste von mehreren Termen ist, den wir aufgestellt haben. Man kann das lesen als Tee-eins-von-Enn.
Ränder mit Eckpunkt-Korrektur
Ein zweiter anschaulicher Ansatz geht von der Idee aus, dass man von einem fertig ausgelegten Rahmen erst vier mal die ganze Seitenlänge nimmt. Der quadratische Rahmen hat ja vier gleich lange Seiten. Und jede Seite besteht aus n Steinchen. Also könnte man sagen, dass man 4 mal n Steinchen benötigt. In der Termschreibweise wäre das 4·n oder kurz 4n (Malzeichen kann man weglassen). Aber wenn man so vorgeht, dann hat man jedes Ecksteinchen zweimal gezählt, also einmal zu viel. Also muss man am Ende zur Korrektur wieder vier Steinchen abziehen. Damit kommt man zum Ergebnis:
- T₂(n) = 4n-4 ✓
T₂(n) ist also der zweite Term, den wir aufgestellt haben, um die Anzahl T(n) von Steinen in einem Bilderrahmen der Länge n zu berechnen.
Zwei-Rand-Methode
Nun betrachtet man den Rahmen als bestünde er aus zwei Paaren unterschiedlich langer Seiten. Wenn das große Quadrat zum Beispiel 5 Steine lang und 5 Steine breit ist, dann kann man zunächst die zwei senkrechten Seiten links und rechts betrachten und dort die Steine zählen. Für beide Seiten zusammen erhält man:
- 2n = Summe der Steine in den beiden senkrechten Seiten
Dann betrachtet man die waagrecht angeordneten Steine oben und unten, die nicht noch mitgezählt wurden. Man hat oben 3 und unten auch wieder 3 Steine in je einer waagrechten Reihe. Diese Reihen sind immer zwei Steinchen kürzer als die senkrechten Reihen, also kann man schreiben:
- 2(n-2) = Summe der verbleibenden Steine in den waagrechten Seiten
Die Summe aller Steine zusammen ist die Summe aus diesen zwei Termen. Also kann man für die Anzahl aller Steine in Abhängigkeit der Quadratlänge n schreiben:
- T₃(n) = 2n + 2(n-2) ✓
Äquivalenz von Termen
Wir haben nun insgesamt 3 verschiedene, anschaulich auch verständliche Terme aufgestellt, die uns für jede Rahmenlänge n die die Anleitung T(n) zur Berechnung der dafür nötigen Steinchen geben. Müssten nicht alle drei Terme auch für jede für n eingesetzte Zahl auch denselben Termwert ergeben? Man kann das stichprobenartig ausprobieren:
- T₁(n) = n² - (n-2)²
- T₂(n) = 4n-4
- T₃(n) = 2n + 2(n-2)
Stichprobe mit n=5:
- T₁(5) = 5² - (5-2)² = 25-9 = 16
- T₂(5) = 4·5-4 = 20-4 = 16
- T₃(5) = 2·5 + 2(5-2) = 10+2·3 = 16
Mit der Stichprobe konnten wir sehen, dass zumindest für n=5 alle drei Terme auch die richtige Anzahl von Steinchen für den ganzen Bilderrahmen geliefert haben. Nun kann man mit Hilfe von Termumformungen zeigen, dass das immer gilt:
Allgemeiner Beweis der Äquivalenz:
- T₁(n) = n² - (n-2)² | 👉 zweite binomische Formel
- T₁(n) = n² - [n²-4n+4] | 👉 Minusklammern auflösen
- T₁(n) = n² - n² + 4n - 4 | 👉 zusammenfassen
- T₁(n) = 4n - 4 ✓
- T₂(n) = 4n-4 | kann unverändert bleiben
- T₂(n) = 4n-4 ✓
- T₃(n) = 2n + 2(n-2) | 👉 Malklammern auflösen
- T₃(n) = 2n + 2n - 4 | 👉 zusammenfassen
- T₃(n) = 4n - 4 ✓
Da man alle drei Terme so umformen kann, dass am Ende derselbe Term 4n - 4 herauskommt, waren die drei Terme von Anfang an schon äquivalent. Äquivalent heißt auf Deutsch gleichwertig. Mehrere Terme sind dann gemeinsam gleichwertig, wenn für jede in den Platzhalter (hier das n) eingesetzte Zahl der Term am Ende auch denselben Termwert ergibt. Siehe dazu mehr im Artikel über 👉 äquivalente Terme
Denkfrage
Die drei Terme funktionieren gut, wenn man sie für die Konstruktion von Bilderrahmen verwendet, die alle länger sind als zwei Steinchen, für die also immer n > 2 gilt:
- T₁(n) = n² - (n-2)²
- T₂(n) = 4n-4
- T₃(n) = 2n + 2(n-2)
Man könnte aber auch sagen, dass vier Steinchen einen Rahmen bilden, bei dem innen halt keine freie Fläche bleibt. Und ein einzelnes Steinchen könnte man als theoretisch kleinst möglichen Rahmen denken, nämlich als ein Quadrat der Seitenlänge. Löst man sich von der Idee der Bilderrahmen könnte man die Sachfrage umformulieren: Aus n Steinchen soll der Rand eines Quadrats gelegt werden. Das Quadrat darf, muss aber im Inneren keine freie Fläche haben. Gesucht ist ein Term, der für die Quadrat-Kanten-Längen die dazugehörige Anzahl von benötigten Steinchen liefert. Die Zahlenfolge ist dann:
- n = 1 -> T(n) = 1
- n = 2 -> T(n) = 4
- n = 3 -> T(n) = 8
- n = 4 -> T(n) = 12
- n = 5 -> T(n) = 16
- n = 6 -> T(n) = 20
Und so weiter, wie oben schon betrachtet. Unsere bisher gefundenen Terme funktionieren rechnerisch korrekt ab n > 1, also ab n = 2. Aber kann man auch einen einzigen Rechenterm finden, der auch für n = 1 die richtige Anzahl Steinchen (nämlich 1) liefert?
TO-DO:
Finde einen Term T(n) für die Zahlenfolge 1, 4, 8, 12, 16, 20.
Finde einen Term T(n) für die Zahlenfolge 1, 4, 8, 12, 16, 20.
Dieser Bereich der Mathematik, für Listen von Zahlen einen Term zu finden, spielt eine grundlegende Rolle für die gesamte Theorie der Funktionen bis tief hinein in die Differential- und Integralrechnung. Siehe dazu auch den Artikel 👉 Folge (Mathematik)