Basiswissen

Als Zahlentheorie bezeichnet man die Mathematik, die sich ganz auf natürliche Zahlen beschränkt. In ihr wurde viele einfach verständliche Fragen formuliert, die bis heute (2025) aber noch unbeantwortet sind. Das Collatz-Problem ist dafür ein Beispiel.

Definition

Beginne mit irgendeiner natürlichen Zahl n > 0.

Ist n gerade, so nimm als nächste Zahl: n / 2

Ist n ungerade, so nimm als nächstes Zahl: 3·n + 1

Wiederhole die Vorgehensweise mit der erhaltenen Zahl.

(Man nennt das eine Iteration.)

Beispiele

n = 1

1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4

n = 10

10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1 und ewig so weiter …

n = 19

19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1 und so weiter …

n = 100

100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52 und eigentlich kann man hier aufhöhen, da die Zahlenreihe oben mit dem Startwert n=19 schon an diese Stelle kam und letzten Endes in 4, 2, 1 mündete.

Keine explizite Darstellung

Die Abfolge von Zahlen, die für eine bestimmte Startzahl entsteht, bezeichnet man auch als Collatz-Folge. Um eine solche Folge mit all ihren Gliedern zu berechnen, muss man schrittweise vom ersten Glied beginnend alle Glieder für sich einzueln ausrechnen. Es gibt keine geschlossene, explizite Formel, das heißt keinen Rechenterm, mit dem man direkt rechnerisch zum n-ten Glieder einer Folge springen kann. Die Darstellung der Folge, das heißt die Anleitung um sie zu berechnen ist also rekursiv (Schritt-für Schritt).

Tatsächlich ist noch nicht endgültig bewiesen, dass es für die Collatz-Folge keine explizite Darstellung gibt. Wer eine solche Darstellung findet, dürfte sich damit innerhalb der Welt der Mathematik einen Namen machen. Siehe auch 👉 explizite Folge

Das Collatz-Problem als Forschungsfrage

Man kann mit einer beliebigen natürlichen Zahl anfangen. Wenn man aus dieser Regel oben eine Zahlenfolge erzeugt, wird sie früher oder später immer in der Abfolge 4; 2; 1 enden und diese Abfolge ewig weiter wiederholen. Unklar ist, ob diese Aussage wirklich auf alle natürlichen Zahlen zutrifft. Die Frage gehört zu den offenen 👉 Forschungsfragen

Persönliche Anmerkung

Probleme von der Art des Collatz-Problems können schon bei Kindern ab der Klasse 3 Faszination auslösen. Die nötigen Rechenverfahren sind schnell begriffen. Ab dann ist der Rest eigenes Probieren. Wer es mit neugierigen Kindern zu tun hat, sollte bei der Suche nach geeignetem Stoff immer mal wieder bei der Zahlentheorie vorbeischauen. Mit ihr können schon jüngere Kinder den Unterschied zwischen Rechnen und Mathematik spüren.