Basiswissen

Streckt man eine Parabel in einem xy-Koordinatensystem entlang der y-Achse, erscheint sie hinterher höher und schmaler als vorher. Anschaulich gesprochen zieht man sie zwischen unten und oben auseinander in die Höhe. Rechnerisch streckt man eine Parabel entlang der y-Achse dadurch, dass man den ganzen Funktionsterm mit einer Zahl multipliziert, die entweder größer ist als 1 (z. B. 4) oder die kleiner ist als -1 (z. B. -4).

Anschaulich

Alle Punkte rücken weiter weg von der x-Achse.

Anders gesagt: alle y-Werte werden vom Betrag her größer.

Man schiebt sie parallel zur y-Achse weg von der x-Achse.

Nur die Nullpunkte verändern sich nicht durch das Strecken.

Siehe auch Streckung ↗

Rechnerisch

Jede quadratische Funktion hat als Graph immer eine Parabel. Hat man die Funktionsgleichung der Parabel, kann man sie rechnerisch sehr einfach strecken. Man muss dazu nur den gesamten Funktionsterm mit einer Zahl multiplizieren, die größer ist als 1 oder kleiner als -1.

Regel

Multipliziere den ganzen Funktionsterm mit einer Zahl größer 1 oder kleiner -1.

Beispiele

f(x) = x² -> strecken mit 2 -> g(x) = 2x²

f(x) = x²+4 -> strecken mit 5 -> g(x) = 5x²+20

f(x) = 7x²-3x+5 -> strecken mit 10 -> 70x²-30x+50

Zahlenbeispiel

Gegeben: f(x) = 4x²-3x+2

Gestreckt: g(x) = 5·^[4x²-3x+2]

Der Streckfaktor ist hier die Zahl 5.

Alle y-Werte sind danach 5-mal-so-groß wie vorher.

Die Parabel wirkt fünf mal so hoch wie vorher.

Siehe auch Streckungsfaktor ↗

Allgemeine Rechenanleitung

Man hat eine Parabelgleichung gegeben, z. B. f(x)=3x²-2x+1

Rechts vom Gleichzeichen steht der Funktionsterm.

Man multipliziert den gesamten Funktionsterm mit einem Streckungsfaktor a.

Der Streckungsfaktor ist eine Zahl kleiner als -1 oder größer als 1.

Beispiel 1: f(x) = 4·^[3x²-2x+1] <- Streckung ohne Spiegelung

Beispiel 2: f(x) = -4·^[3x²-2x+1] <- Streckung mit Spiegelung

Bei negativem Streckfaktor wird der Graph auch gespiegelt.

Die Spiegelung erfolgt an der x-Achse (von oben nach unten).

Siehe auch Graph entlang y-Achse strecken ↗

Das a in ax²

Der Funktionsterm einer quadratischen Funktion kann in verschiedenen Formen angegeben werden. Man kann y=ax²+bx+c schreiben oder auch y=a·(x-b)·(x-c) oder auch y=a(x-d)²+e. Multipliziert man alle Klammern im Funktionsterm aus, dann ist das kleine a am Ende immer die Zahl, die als Faktor (Malzahl) direkt vor dem x² steht. Man nennt das kleine a auch Öffnungsparameter. Ist dieser Öffnungsparameter positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist er negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet. Sowohl eine nach unten wie auch eine nach oben geöffnete Parabel kann gestreckt sein. Die Richtung der Öffnung spielt dabei keine Rolle. Der Öffnungsfaktor a gibt aber nicht die Streckung des ursprünglichen Graphen im Vergleich zur Normalparabel f(x)=x² an, sondern im Vergleich zur vorher gegebenen noch nicht gestreckten Parabel.