Basiswissen

Der Faktor, mit dem vergrößert oder verkleinert wurde. Ein Faktor allgemein ist eine Zahl, mit der malgerechnet wird, die also Teil eines Produktes (Malkette) ist. Der Streckungsfaktor kommt mit der Abkürzung f im Thema zentrische Streckung und oft mit der Abkürzung a im Zusammenhang mit Parabeln vor.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Ein Streckungsfaktor von etwa 1,5☛

Vom Strecken und Stauchen

Strecken heißt zunächst einmal, dass etwas länger gemacht wird. Wenn man sich morgens beim Aufstehen streckt, macht man sich lang. Das Wort Strecke kommt vielleicht daher, dass man einen Messfaden oder ein Maßband lang streckt. Man kann auch eine Suppe strecken. Das heißt, dass man einfach noch etwas Wasser dazu gießt und damit "mehr Suppe" macht. Die gemeinsame Bedeutung hinter all diesen Beispielen ist, dass etwas größer gemacht wird als es vorher war. Siehe auch 👉 Strecken

Das Gegenteil vom Strecken ist das Stauchen. Etwas zu stauchen heißt, etwas durch Zusammendrücken kleiner zu machen. Im übertragenen Sinn wird das Wort stauchen auch in dem Sinn benutzt, eine Person "zusammenzufalten", sie "herunterzuputzen", also sie mit Worten "klein zu machen".

In der Geometrie faßt man nun beide Worte, Strecken und Stauchen, unter dem einen Wort Strecken zusammen. Das Stauchen wird dann zu einem "Strecken mit kleinem Streckungsfaktor". Der Streckungsfaktor zum Stauchen ist dann eine 0-Komma-Zahl (auch negativ ist erlaubt, Hauptsache 0-Komma). Der Streckungsfaktor ist nämlich eine Zahl, die sagt, wie viel mal so lang etwas nach dem Strecken ist, wie am Anfang ursprünglich war. Wenn man einen Strich mit dem Faktor 3 streckt, ist er hinterher 3 mal so lang wie er vorher war. Streckt man den Strich mit dem Faktor 0,5 oder ½, dann ist der Strich hinterher nur 0,5 mal oder ein Halb mal so lang wie vorher. Das ist die Logik. Ein Streckungsfaktor, der weniger als 1 von der 0 entfernt wird (also jede 0-Komma-Zahl), staucht damit. Und obwohl man eine Sache damit kleiner macht, nennt man es immer noch Strecken. Die Information, dass etwas verkleinert wurde, steckt dann im Streckungsfaktor, der mit einem 0-Komma anfängt. Um gut zu verstehen, was ein Streckungsfaktor von 0,8 oder 3,1 meint, ist es gut zu verstehen, was Vielfache mit Dezimalzahlen meinen. Siehe dazu auch unseren Artikel 👉 Dezimalzahl als Multiplikator

Zentrische Streckung

Bei der sogenannten zentrischen Streckung in der Geometrie werden gezeichnete Figuren vergrößer, verkleinert und eventuell auch gespielt. Man kann insgesamt vier Fälle für den Streckungsfaktor f unterscheiden.

f ist kleiner als -1, kurz: f < -1: Punktspiegelung hin zu anderer Seite und Vergrößerung

f liegt zwischen -1 und 0, kurz: -1 < f < 0: Punktspiegelung hin zu anderer Seite und Verkleinerung

f liegt zwischen 0 und 1, kurz: 0 < f < 1: Verkleinerung auf der alten Seite

f ist größer als 1, kurz f > 1: Vergrößerung auf der alten Seite

f > 1: vergrößern ohne Spiegelung

Angenommen man hat als Originalfigur am Anfang ein Quadrat.

Alle vier Seiten des Quadrates haben eine Länge von 3 Zentimetern.

Dann wird das Quadrat so vergrößert, dass die Seiten am Ende 12 cm lang sind.

Dann sind alle Seiten nachher 4-mal so groß, wie sie vorher waren.

Dann ist der Streckfaktor f die Zahl 4.

Denn: Anfangslänge mal f = Endlänge

Siehe auch 👉 zentrische Streckung

0 < f < 1: verkleinern ohne Spiegelung

Angenommen man hat als Originalfigur am Anfang ein Quadrat.

Alle vier Seiten des Quadrates haben eine Länge von 3 Zentimetern.

Dann wird das Quadrat so vergrößert, dass die Seiten am Ende halb so lang sind wie sie vorher waren.

Dann ist der Streckfaktor f die Zahl 0,5 oder ½.

Denn: Anfangslänge mal f = Endlänge

Siehe auch 👉 zentrische Streckung

-1 < f < 0 verkleinern mit Spiegelung

Angenommen man hat als Originalfigur ein Rechteck.

Es ist am Anfang 20 cm lang und 8 cm breit.

Es wird so verkleinert, dass es nachher 10 cm lang und 4 cm breit ist.

Der Streckfaktor f war dann die Zahl 0,5.

Auch wenn der Faktor -0,5 werden die neuen Seiten nur halb so lang sein wie die alten.

Und die neuen Seiten liegen dann auf der anderen Seite des Streckzentrums wie die alten Seiten.

f < -1 vergrößern mit Spiegelung

Angenommen man hat als Originalfigur ein Rechteck.

Es ist am Anfang 20 cm lang und 8 cm breit.

Es wird so vergrößert, dass es nachher 50 cm lang und 20 cm breit ist.

Der Streckfaktor f war dann die Zahl 2,5.

Dasselbe Ergebnis bekäme man auch mit -2,5.

Doch die neuen Seiten liegen dann auf der anderen Seite des Steckzentrums wie die alten Seiten.

Streckungsfaktor bei Parabeln

Bei Parabeln spricht man von einer Streckung und einer Stauchung.

Der Streckungsfaktor hier wäre das a in: f(x) = ax²+bx+c

Man nennt den Streckungsfaktor a auch den Öffnungsparameter^{👉  [1]}

Ein weiteres Synonym ist Leitkoeffizient^{👉  [2]}

Mehr dazu unter 👉 Parabelstreckung

Was ist ein Stauchungsfaktor?

Ein Stauchungsfaktor ist im Prinzip ein Streckungsfaktor zwischen -1 und 1: streckt man etwas mit einem Faktor wie etwa 0,4, dann kommt das einer Verkleinerung, also einer Stauchung in einer Richtung gleich. Das Wort Stauchungsfaktor ist in der Geometrie und Mathematik nicht gebräuchlich. Siehe auch 👉 stauchen

Fußnoten

[1] In der Form f(x)=ax²+bx+c wird der "Koeffizient a" auch als "Öffnungsparameter" bezeichnet. In: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Dort im Kapitel "5.3 Quadratische Funktionen". Seite 194.

[2] Leitkoeffizient. In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 3: Imp bis Mon; 2002; ISBN: 3-8274-0435-5. Seite 270.