Grundidee

Multiplikator mal Multiplikand = Produkt: bei 3 mal 4 ist die Zahl 3 der Multiplikator. Der Multiplikator sagt, wie oft man etwas nehmen soll. Der Multiplikand, im Beispiel die Zahl 4, ist das, was dann so oft genommen wird. Hier hat man also 3 mal die Zahl 4, also: 4+4+4

Einführung

2·5 gibt dasselbe Rechenergebnis wie 5·2. Bei der Multiplikation, genauso wie auch bei der Addition, kann man die Reihenfolge der Zahlen vertauschen wie man will. Dennoch kommt am Ende dasselbe Ergebnis heraus. 2 mal 5 gibt genauso die Zahl 10 wie 5 mal 2.

Merksatz:

Reihenfolge unwichtig: Faktor mal Faktor mal Faktor = Produkt

Wenn einem die Reihenfolge der Zahlen in der Malaufgabe, dem Produktterm, egal ist, dann kann man die Zahlen, die malgerechnet werden als Faktoren bezeichnen. Bei der Aufgabe 2·5 sind die 2 und die 5 beide je ein Faktor. Ein Malaufgabe, das heißt ein Produktterm, kann dann auch mehrere Faktoren enthalten. Der Term Term 2·4·7·3 hat vier Faktoren.

Pizzabeispiel

Wenn es aber um Sachaufgaben geht, dann können die Faktoren verschiedene Rollen spielen. Die erste Zahl steht dann immer für eine Anzahl. Stellen wir uns vor, ein Pizzabäcker verkauft vorgeschnittene Pizzastücke in Kartons. Von der Anzahl der Pizzastücke her ist es egal, ob man 2 mal 4 Stücke kauft oder 4 mal 2 Stücke. Aber im ersten Fall hat man 2 Kartons mit je 4 Stücken darin. Und im zweiten Fall hat man 4 Kartons mit je 2 Stücken darin. Wer glaubt, dass es am Ende immer nur auf die Gesamtzahl ankommt, der kann man einmal nachforschen, was es kostet, einmal eine Millionen Kompasse über einen chinesischen Billigwarenhändler zu bestellen und diesen Preis zu vergleichen mit dem Preis, den man für eine Million Bestellungen von je einem solchen Kompass zu bezahlen hätte. Es kann also durchaus Sinn machen, zwei Arten von Rollen bei der Multiplikation zu unterscheiden. Eine Zahl sagt, wie oft etwas genommen wird, die andere Zahl ist dann diejenige, die so oft genommen wird.

Merksatz:

Reihenfolge wichtig: Multiplikator mal Multiplikand = Produkt

Alltagssprache

Diese Reihenfolge entspricht auch der Umgangssprache im Alltag. Man sagt etwa, dass man 3 Äpfel hat. Die Zahl 3 ist der Multiplikator und ein Apfel ist der Multiplikand. Der Ausdruck "3 Äpfel" meint wörtlich: ein Apfel + noch einen Apfel + noch einen Apfel. Man gibt erst die Anzahl an, und dann, was man so oft hat. Niemand sagt, ich habe "Apfel 3". Diese Reihenfolge ist auch in vielen anderen Sprachen üblich. So steht die chinesische Zeichenfolge 三个苹果auch für drei Äpfel.

Von anschaulich zu abstrakt

Anschaulich im Alltag

Wir hatten weiter oben gesehen, dass vor allem bei Sachfragen die Reihenfolge oft wichtig sein kann. Der Alltagssprache folgend nennt man zuerst die Zahl, die sagt, wie oft man etwas hat und dann die Sache die man so oft hat. 3 Äpfel, 400 € oder 17 Kilometer wären typische Beispiele. Man kann auch Verschachtelungen bilden und zum Beispiel sagen, dass eine Sportlerin an einem Tag in einem Trainingslager 3 mal 2000 Meter geschwommen ist. Die Zahl 3 wäre dann der Multiplikator und die 2000 Meter der Multiplikand. Insgesamt ist sie also 6000 Meter geschwommen. Hier sieht man besonders deutlich, dass die Umkehrung zu "2000 Meter mal 3" schon sprachlich nicht gut akzeptiert wird, wobei aber eine Wendung wie "2000 Meter, drei Mal" als Umgangssprache akzeptabel wäre.

Abstrakt in der Physik

Betrachten wir nun aber mathematische und physikalische Ausdrücke, wie durchaus üblich sind, dann beobachten wird, dass die Reihenfolge entgegen dem üblichen Sprachgebrauch oft ganz frei umgestellt werden darf. Da es meist nur um das Ergebnis einer Rechnung geht, ist das auch ohne Schaden.

🖩

3 m · 4 m = 12 m²

Meter mal Meter?

In der Geometrie lernt man, dass der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Formel Länge mal Breite berechnet werden kann. Die Länge könnte zum Beispiel 3 m sein, die Breite zum Beispiel 4 m. Die 3 m wären dann der Multiplikator. Was aber soll es bedeuten, dass man etwas "3 Meter" mal nimmt? Der Ausdruck "3 Meter" gibt keine Anzahl an. Und dennoch dient er als Multiplikator. Und noch kurioser ist es, dass man 3 m · 3 m umstellen kann zu 3·4·m·m und dann sogar die Meter mal Meter rechnet und daraus Quadratmeter, also m² macht. Hier darf man nicht mehr versuchen, die Denkgewohnheiten des Alltags und von der Grundschule weiter mitziehen zu wollen. Man muss den Schritt hin zu einer Abstraktion machen, bei der man nur noch Rechenregeln folgt ohne dass jeder einzelne Rechenschritt für sich alleine anschaulich verständlich sein muss. Bei der Multiplikation von m·m macht es keinen Sinn zu fragen, was es bedeuten soll, dass man einen Meter ein Meter mal hat.

Verschiedene Zahlenarten

1,2 als Multiplikator

Der Multiplikator kann auch eine Dezimalzahl mit echtem Komma sein: 1,2 mal 40 heißt: 1 mal die 40 ganz und dann 2 Zehntel von der 40 dazu, also 48. ¼ mal 80 heißt dann ein Viertel von 80, also 20. Das macht durchaus Sinn, wenn man Dinge nicht mehr nur in ganzen Vielfachen betrachten möchte sondern in gestückelten kleineren Teilen. Siehe dazu mehr unter 👉 Dezimalzahl als Multiplikator

½ als Multiplikator

Auch Brücke können Multiplikatoren sein. Wenn man ½ · 8 rechnet, heißt das, dass man ein halbes Mal die Acht hat. Man hat am Ende also so viel wie eine Vier. Brüche können sowohl Multiplikatoren wie auch Multiplikanden sein. Der einfachste Fall ist zunächst 👉 Bruch mal Zahl

-4 als Multiplikator

4 mal 3 gibt -12. Wer die Regeln zum Rechnen mit negativen Zahlen kennt, kann nutzen: minus mal plus oder auch plus mal minus gibt beides minus. Was aber soll es anschaulich bedeuten, dass man -4 mal die Zahl 3 hat? Hier merkt man, dass die Anschaulichkeit verloren geht. Man zieht sich auf formale Rechenregeln zurück und darf nicht mehr für jeden Zwischenschritt versuchen, alles anschaulich begreifbar machen zu wollen.

(4 2 3) als Multiplikator

Die (4 2 3) steht für einen sogenannten Vektor. Vektoren kann man sich oft passend als Pfeile vorstellen. Und Vektoren sind in der höheren Mathematik Objekte mit denen man rechnen kann. So kann man zum Beispiel Vektor mal Zahl oder auch Vektor mal Vektor rechnen. Wieder darf man nicht auf die Anschaulichkeit im Sinne von 3 Äpfel als 3 mal ein Apfel pochen. Es macht keinen Sinn zu fragen, für welche Anzahl ein Vektor in der Rolle als Multiplikator stehen soll. Siehe auch 👉 Vektormultiplikation

Verschiedene Rechenarten

Andere Rechenarten

Interessant ist ein Vergleich mit anderen Grundrechenarten. Bei der Subtraktion (minus) und der Division (geteilt) ist die Reihenfolge der Zahlen nicht egal, wenn am Ende dasselbe Ergebnis herauskommen soll. 3-5 gibt es anderes als 5-3. Und 8:4 ist auch nicht dasselbe wie 4:8. Egal hingegen ist die Reihenfolge auch bei der Addition (plus): 7+3 ist dasselbe wie 3+7. Und beim Potenzieren (hoch) ist die Reihenfolge auch wieder nicht egal: 2³ gibt 8 und 3² gibt 9. Wenn man die Reihenfolge unterscheiden möchte, kann man die folgenden Worte benutzen:

Augend + Addend bei der 👉 Addition

Minuend - Subtrahend bei der 👉 Subtraktion

Multiplikator mal Multiplikand bei der 👉 Multiplikation

Dividend durch Divisor bei der 👉 Division

Basis hoch Exponent beim 👉 Potenzieren

Eine nützlich Merkhilfe sind hier die Endungen der lateinischen Worte. Ein lateinisches Wort das auf "end" oder "and" steht eher für etwas, das etwas erleidet, mit dem etwas gemacht wird. Und die Endung "or" deutet eher auf etwas hin, das aktiv etwas tut.

Augend -> das was erhöht wird

Addend -> das was dazu kommt

Minuend -> das was vermindert wird

Subtrahend -> das was weggenommen wird

Dividend -> das was geteilt wird

Divisor -> der Teiler, er teilt aktiv

Allgemein 👉 end

Fußnoten

[1] Der Multiplikator als der erste Faktor in einem Produkt. In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 4: Moo bis Sch; 2002; ISBN: 3-8274-0436-3. Dort wird auf Seite 259 unter dem Eintrag Produkt verweisen auf "Ergebnis einer Multiplikation". Unter dem Stichwort Multiplikation heißt es dann auf Seite 7: "Der Ausdruck xy heißt Produkt der Faktoren von x und y. x und y werden multipliziert oder malgenommen. x nennt man auch den Multiplikator und y den Multiplikand und sagt, y werde mit x multipliziert." (externer Link)