Dezimalzahl als Multiplikator

Rechenweg

Basiswissen｜ Grundidee｜ Beispiele｜ Zehnerpotenzen nutzen｜ Nutzen für das Verhältnisdenken｜ Aufgaben mit Lösungen｜ Persönliche Einschätzung｜ Fußnoten

Basiswissen

Bei der Aufgabe 3 mal 4 ist die Zahl 3 der Multiplikator. Der Multiplikator sagt anschaulich, wie oft man etwas nehmen soll, und dass man dann alles zusammenaddieren soll. 3 mal 4 heißt also 4+4+4. Dieselbe Idee kann man auch nutzen, wenn der Multiplikator eine echte Kommazahl ist, zum Beispiel bei 1,3 mal 40. Hier stehen Beispiele und Tipps zum Rechenweg sowie eine kurze Motivation.

Grundidee

Vor dem Komma des Multiplikators steht, wie oft man etwas ganz nehmen soll. Die erste Stelle nach dem Komma sagt, wie viele Zehntel von der Sache man nehmen soll. Die zweite Stelle hinter dem Komma sagt, wie viele Hundertstel man nehmen soll. Danach kämen die Tausendstel und so weiter. Die Zehntel, Hundertstel und Tausendstel kann man oft leicht im Kopf berechnen oder zumindest gut abschätzen.

Beispiele

Rechenbeispiel I

1,3 mal 40

Die 1,3 ist der Multiplikator ↗

1 mal die 40 ganz gibt: 40

Dann: 3 Zehntel von der 40 berechnen:

Siehe dazu auch ein Zehntel ↗

Ein Zehntel von 40 ist 4.

Also sind 3 Zehntel von 40 so viel wie 12.

Die 12 jetzt zur 40 dazurechnen:

Macht in Summe 52: ✓

Rechenbeispiel II

10,18 mal 500

10 mal die 500 ganz genommen gibt: 5000

Dann: 1 Zehntel von der 500 dazu, also: 50 dazu

Dann: 8 Hundertstel von der 500 dazu, also noch: 40 dazu

Das macht alles in Summe: 5090: ✓

Sprechbeispiele

Das 0,75fache von 400 ist 300 Das 0,75fache ↗

Das 1,125fache von 400 ist 450 Das 1,125fache ↗

Das 1,25fache von 400 ist 500 Das 1,25fache ↗

Das 1,4fache von 400 ist 560 Das 1,4fache ↗

Das 1,5fache von 400 ist 600 Das 1,5fache ↗

Das 1,75fache von 400 ist 700 Das 1,75fache ↗

Das 2,25fache von 400 ist 900 Das 2,25fache ↗

Siehe auch echte Kommazahl als Multiplikator ↗

Sachbeispiel: Sturmflut

Die Schwere von Sturmfluten wird nach ihrer durchschnittlichen Häufigkeit eingeteilt: eine leichte Sturmflut tritt demnach 10 bis 0,5 mal pro Jahr auf. 0,5 mal pro Jahr meint dasselbe wie zwei mal pro Jahr. Eine schwere Sturmflut tritt 0,5 bis 0,05 mal pro Jahr auf, also im Schnitt alle 2 bis 20 Jahre. Eine sehr schwere Sturmflut tritt seltener als 0,05 mal pro Jahr auf, also seltener als alle zwanzig Jahre. Siehe auch Sturmflut ↗

Sachbeispiel Relativitätstheorie
0,98c heißt: 0,98fache Lichtgeschwindigkeit: nichts kann schneller sein als Licht im Vakuum: das ist eine der grundlegenden Erkenntnisse aus Albert Einsteins Relativitätstheorie aus dem Jahr 1905. Je näher ein Gegenstand an die Lichtgeschwindigkeit heran kommt, desto mehr scheinen sich Raum und Zeit zu verändern. Zur Berechnung der Effekte wird die Geschwindigkeit oft als dezimales Vielfaches der Lichtgeschwindigkeit c angegeben. 0,98c heißt dann so viel wie 98 % der Lichtgeschwindigkeit. Lies mehr unter 0,98c ↗

Zehnerpotenzen nutzen

Der große Vorteil von Dezimalzahlen mit Komma ist, dass Zehntel, Hundertstel und Tausendstel eine wichtige Rolle spielen und dass man diese sehr leicht berechnen kann.^[1] Um ein Zehntel von einer Zahl zu berechnen, muss man die Zahl nur durch 10 teilen. Für ein Hundertstel muss man die Zahl nur durch 100 teilen. Und für ein Tausendstel muss man die Zahl nur durch 1000 teilen:

Ein Zehntel von 4000 ist 400, siehe auch durch zehn ↗

Ein Hundertstel von 4000 ist 40, siehe auch durch hundert ↗

Ein Tausendstel von 4000 ist 4, siehe auch durch tausend ↗

Nutzen für das Verhältnisdenken

Ein anschauliches Verständnis davon zu haben, was das 0,8fache von 300 tausend ist oder was das 23,01fache von 40 in etwa gibt hat neben dem rein rechnerischen Nutzen für schnelle Abschätzungen einen zweiten, sehr viel tiefer gehenden Nutzen. Der zweite große Nutzen Dezimalzahlen als Multiplikator denken zu können ist, dass man damit bruchlos gut in Verhältnissen denken und sprechen kann. Mit Dezimalzahlen als Multiplikator kann man eine Denkbarriere im Kopf einebnen, die unserer Erfahrung nach sehr viele Schüler und auch Erwachsene im Kopf haben.

Was mal 40 gibt 32?

Diese Frage kann selbst Schüler der Oberstufe oder sogar in einem technischen Studium aus dem Tritt bringen. Der Grund ist die verinnerlichte Regel, dass "Multiplizieren alles größer macht". Diese Regel gilt (abgesehen von den Zahlen 0 und 1 als Multiplikatoren) uneingeschränkt in der Grundschule. Denn rechnet man nur mit natürlichen Zahlen, dann gilt: wenn man zwei Zahlen malnimmt, dann ist das Ergebnis immer größer als die größte der beiden malgerechneten Zahlen. Aber spätestens wenn man begonnen hat mit Brüchen und "echten Dezimalzahlen" zu rechnen, spätestens dann gilt diese Regel nicht mehr. Und dann sieht man auch die Lösung für die Aufgabe oben.

0,8 mal 40 gibt: 32

Das 0,8fache von 40 ist 32. Hat man die oben erklärten Vorstellungen zum Rechenweg verinnerlicht, erscheint es jetzt ganz natürlich, dass das 0,8 die zweite Zahl "kleiner macht".

Und wenn man das gut verinnerlicht hat, kann man dann problemlos zwei vorher getrennte Vorstellungen zu einem neuen Konzept verbinden: Anteile und Vielfache.

Anteile

Sieben Zehntel der Oberfläche der Erde sind mit Wasser bedeckt: in der Sprache des Alltags ist ein Anteil von etwas weniger als das Ganze. Wenn man drei Viertel von einem Kuchen hat, das ist der drei-viertel-Kuchen ein Anteil. Gewohnheitsmäßig gibt man Anteile in Brüchen an.

Anteile sind weniger als das Ganze.

Zur Angabe üblich sind Brüche.

Man kann zwei Drittel einer Wegstrecke gelaufen sein oder ein Glas bis zu vier Fünftel aufgefüllt haben. In beiden Fällen ist der angegebene Anteil weniger als das Ganze. Solche Angaben von Anteilen mit Brüchen waren auch in der Wissenschaft bis ins frühe 20. Jahrhundert weit verbreitet.

Vielfache

Der Durchmesser des Planeten Neptun, ein Gasriese am Rande unseres Sonnensystems, ist in etwa das Vierfache des Durchmesser der Erde: von Vielfachen spricht man, wenn man mehr als das Ganze meint. In der Sprache des Alltags kann man diese Vielfache sogar mit Anteilen verbinden: 20 € ist 2½ mal so viel wie acht €. Die Zahl 2½, gesprochen als zweieinhalb, ist eine sogenannte gemischte Zahl. In ihr werden ganze Zahlen mit Brüchen verbunden.

Vielfache sind mehr als das Ganze.

Zur Angabe üblich sind ganze und gemischte Zahlen.

Vielfache sind im alltäglichen Sprachgebrauch immer mehr als das Ganze. Es ist durchaus üblich vom 1½, dem Anderthalbfachen von etwas zu sprechen, nicht aber vom 0½ fachen wenn man eigentlich nur die Hälfte meint. Für die Angabe von echten Bruchteilen die weniger sind als das ganze verwendet man nur echte Brüche bei denen der Zähler kleiner ist als der Nenner.

Verhältnisse

Die Mathematik, wie viele andere Wissenschaften auch, strebt danach, möglichst viele an sich verschiedene Denkweisen immer mehr zu verallgemeinern und daraus nur eine Denkweise zu machen. Das nennt man Verallgemeinern oder auch Abstrahieren: das was nicht zu allen Denkweisen passt, lässt man weg, man abstrahiert es (streift es ab). Das was wir nun abstrahieren ist die Unterscheidung ob man mehr oder weniger als das Ganze meint.

3/4 von 20 → das 0,75fache von 20

Das 1½fache von 20 → das 1,5fache von 20

Mit den dezimalen Vielfachen kann man nun die sprachliche Unterscheidung von Anteilen und Vielfachen beide unter dem Vielfachen zusammenfassen. Und damit kann man jetzt auf die Frage nach dem Verhältnis auch immer Antworten in derselben Form geben:

In welchem Verhältnis steht die 20 zur 4? Die 20 ist das 5,00fache von der 4.

In welchem Verhältnis steht die 20 zur 8? Die 20 ist das 2,50fache von der 8.

In welchem Verhältnis steht die 20 zur 16? Die 20 ist das 1,25fache von der 16.

In welchem Verhältnis steht die 20 zur 25? Die 20 ist das 0,80fache von der 25.

In welchem Verhältnis steht die 20 zur 50? Die 20 ist das 0,40fache von der 50.

Querblick

Dass man mit der Dezimalzahl als Multiplikator zwei vorher getrennte Denk- und Sprechweise vereinheitlich, begegnet auch an anderen Stellen der Mathematik. Mit der Einführung der negativen Zahlen kann man jede Subtraktion auch als Addition denken. Die Subtraktion 7-2 kann man auch als 7+(-2) schreiben: statt "minus zwei" kann man auch "plus minus-zwei" rechnen. Allgemein: minus eine Zahl gibt dasselbe wie plus ihre Gegenzahl. Man kann damit die Subtraktion als eigene Rechenart eigentlich abschaffen. Und auch die Division kann man durch die Multiplikation ersetzen: 4 geteilt durch 5 ist dasselbe wie 5 mal 1/5. Statt durch eine Zahl zu teilen, kann man auch mit ihrem Kehrwert multiplizieren. Die Fähigkeit zur Abstraktion ist nicht bei allen Menschen gleich stark ausgebildet. Das Kopfrechnen bietet eine hervorragende Möglichkeit, sie früh und häufig zu trainieren. Siehe auch Abstraktion ↗

Aufgaben mit Lösungen

a) Was ist das 2,4fache von 20?

b) Was ist das 0,8fache von 20?

c) Was ist das 10,1fache von 40?

d) 40 mal was gibt 12?

e) 40 mal was gibt 44?

f) Was ist das 0,08fache von 200?

g) 200 mal was gibt 212?

h) Was ist das 1,5fache von 30?

i) Was ist das 0,25fache von 80?

j) Was ist das 3,2fache von 50?

k) 50 mal was gibt 25?

l) 50 mal was gibt 75?

m) Was ist das 0,04fache von 300?

n) 300 mal was gibt 315?

o) Was ist das 1,2fache von 60?

p) Was ist das 0,5fache von 60?

q) Was ist das 4,4fache von 90?

r) 90 mal was gibt 45?

s) 90 mal was gibt 99?

t) Was ist das 0,03fache von 400?

u) 400 mal was gibt 420?

v) Was ist das 2,2fache von 25?

w) Was ist das 0,6fache von 25?

x) Was ist das 5,5fache von 70?

y) 70 mal was gibt 35?

z) 70 mal was gibt 77?

Lösungen

a) 48, b) 16, c) 404, d) 0,3, e) 1,1, f) 16, g) 1,06, h) 45, i) 20, j) 160, k) 0,5, l) 1,5, m) 12, n) 1,05, o) 72, p) 30, q) 396, r) 0,5, s) 1,1, t) 12, u) 1,05, v) 55, w) 15, x) 385, y) 0,5, z) 1,1

Persönliche Einschätzung

Betrachtet man sich Schulhefte von Schülern im Fach Mathematik fällt oft eine erschütternde Wortlosigkeit auf. Die Mitschriften vom Unterricht bestehen oft nur aus unkommentierten Rechenwegen bar jeder Erläuterung. Entsprechend fehlt vielen Kindern dann auch die Fähigkeit sich sprachlich ausdrücken. Sollen sie ihren Lösungsweg erläutern, lesen sie oft nur die Zahlen vor: "ich habe dann die 4 Euro plus die 3 Euro gerechnet und am Ende geteilt durch 2". Sie könnten aber auch sagen: "die Lösung ist die Hälfte der Summe der beiden Einzelbeträge". Mit einem ehemals reichhaltigen Vokabular zum sprachlichen Beschreiben von Zusammenhängen in der Mathematik, wie es noch im frühen 20. Jahrhundert vorhanden war, ist aber auch eine wertvolle Hilfe auf dem Weg zum abstrakten Denken verloren gegangen. Es war eine der wichtigen Botschaften des englischen Schriftstellers George Orwell (1903 bis 1950), dass mit dem Verlust von Worten auch die dazugehörigen Denkwege verloren gehen können.^[2] Während Orwell aber vor allem die Manipulation des Denkens von Menschen in einer Diktatur im Sinn hatte, trifft meiner Meinung dasselbe auch für das rein mathematische Denken zu^[3]: Armut von Worten führt zu Armut im Denken.

Fußnoten

[1] Die heute Schreibweise von Dezimalzahlen mit einem Komma oder Punkt geht auf ähnliche Schreibweisen aus der Zeit vor 1500 zurück. Statt eines Punktes wurden damals zum Beispiel Kreise verwendet. Die volle Bedeutung, wie nützlich die Dezimalschreibweise ist, erkannten erst Christoff Rudolff (1500 bis 1543) sowie Simon Stevin (1548/49 bis 1620). In: David Eugene Smith: History Of Mathematics Vol II. Ginn And Company. 1925. Siehe auch Dezimalzahl ↗

[2] George Orwell hatte mit seinem dystopischen Buch "1984" eine Diktatur ersonnen, in der die Obrigkeit die Sprache für das gemeine Volk, die "Proles" gezielt immer mehr verarmt, sodass die "Proles" am Ende rein intellektuell nicht mehr in der Lage sind staatsfeindliche Gedanken überhaupt erst denken zu können. Siehe dazu den Artikel Neusprech ↗

[3] Auf die große Bedeutung des sprachlichen Zugangs zur Mathematik weisen Neurowissenschaftler wie Stanislas Dehaene (Triple-Code Modell) oder die Didaktikerin Susanne Prediger hin. Siehe dazu auch unseren Artikel Rechnen und Sprache ↗