Gauß-Jordan-Verfahren
Matrix invertieren
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Basiswissen
Invertieren kann man nur quadratische Matrizen. Das heißt: die Matrix muss genauso viele Zeilen wie Spalten haben. Zudem muss die Matrix regulär sein, das heißt: ihre Determinante ist ungleich 0. Wenn diese Voraussetzungen gelten, dann kann man die Matrix invertieren. Das Gauss-Jordan-Verfahren wird dann immer die Lösung liefern.
1. Schritt
- Blockmatrix bilden:
- Die gegebene quadratische Matrix nennen wir A.
- Schreibe sie links auf das Papier.
- Schreibe rechts daneben eine leere aber gleich große Matrix E.
- Die Matrix E muss genauso viele Zeilen und Spalten haben wie A.
- Fülle dann die Hauptdiagonale von E mit 1ern.
- Die Hauptdiagonale geht von oben links nach unten rechts.
- Fülle alle restlichen Felder der rechten Matrix E mit 0en.
- Eine solche Matrix aus 1en und 0en heißt Einheitsmatrix ↗
- Die so nebeneinander geschrieben Matrizen A und E ...
- bilden gemeinsam eine sogenannte Blockmatrix ↗
2. Schritt
- Linke Matrix A in Einheitsmatrix umformen:
- Nun versucht man die linke Matrix A so umzuformen, ...
- dass sie am Ende genauso aussieht wie jetzt die rechte Matrix E.
- Man kann dabei ähnlich vorgehen, wie beim Gauß-Algorithmus ↗
- Alle Umformungen an A werden dabei gleichzeitig auch bei E gemacht.
- Wenn am Ende die linke Matrix A genauso aussieht wie die ...
- rechte Matrix E am Anfang aussah (also eine Einheitsmatrix ist), ...
- dann steht rechts die invertierte Matrix von der Matrix A vom Anfang.
Wo findet man Beispiele?
- Einige Matrizen mit ihren Inversen sind aufgelistet auf einer eigenen Seite.
- Siehe dazu unter inverse Matrizen ↗
Fußnoten
- Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. 14. Auflage (2015), Springer Vieweg Verlag, Band 2. ISBN: 978-3-658-07789-1. Siehe auch Der Papula ↗