Flatland
Gedankenexperiment
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Basiswissen｜
Zur Geschichte des Flatlands｜
Beispiel: Flachländer im 3D-Raum｜
Philosophische Bedeutung｜
Fußnoten
Basiswissen
Als Flatland, auch Deutsch so viel wie Flachland, bezeichnet man heute ein fiktives Land, oft im Sinne eines Gedankenexperimentes, um das Denken in Geometrien mit verschieden hoher Dimensionalität zu üben oder in Analogien zu zeigen. [3] [4] Der Gedanke führt hin bis zur Idee einer gekrümmten Raumzeit. [8]
Zur Geschichte des Flatlands
Als Flatland bezeichnet man eine fiktive Welt, deren Bewohner sich nur in einer flachen Ebene bewegen können. Die Idee eines Flatland war zunächst als Satire gedacht [1] [2]. Bewohner des Flatland können nach links und recht, nach vorne und hinten, aber nicht nach oben und unten gehen. Später wurde die Idee dann von Mathematiker verwendet, um sich ein Denken in einer wechselnden Anzahl von Dimensionen vorstellen zu können. [3] [4] Später wurde der Gedanke auch als Computersimulation umgesetzt [5] und fiktive Technologien in solchen Welten (englisch: Planiverse) untersucht. [6] Man kommt so zur Vorstellung eines gekrümmten Raumes [7] bis hin zur Idee einer gekrümmten Raumzeit [8]. Siehe mehr unter 👉 gekrümmter Raum
Beispiel: Flachländer im 3D-Raum
Die Bewohner von Flatland können sich eine dritte Dimension zunächst nicht vorstellen. Sie können nach vorne und hinten, nach links und nach rechts gehen. Aber es gibt kein oben und unten. Die Bewohner sind auch alle flach. Es gibt Quadrate, Striche, Punkte, Sechs- oder Fünfecke und derlei mehr.
Eines Tages setzt ein Phantast die Idee in die Welt, dass man vielleicht immer geradeaus gehen könnte, und am Ende wieder am Ausgangspunkt ankommt. (Fast) Alle halten ihn für verrückt. Doch dann macht jemand den Versuch und geradeaus in immer nur eine Richtung. Zur Sicherheit rollt er hinter sich ein rotes Band ab, um den Rückweg zu finden. Er benötigt das rote Band aber nicht. Obwohl er immer nur geradeaus Richtungen Osten gegangen ist, kommt er irgendwann wieder von Westen aus am Ausgangspunkt an. Schlaue Denker kommen auf die Idee, dass Flatland tatsächlich eine Art Oberfläche in einer höheren Dimension sein könnte. Wir Wesen aus einer 3D-Welt würden das eine Kugeloberfläche nennen. [13] Um die Theorie zu testen, gibt es eine zweite Expedition, die dieses mal nach Norden loszieht.
Wesen die auf der Oberfläche eines solchen Körpers, eines sogenannten Torus, leben und dann immer nur geradeaus gehen, werden zu verblüffenden Erkenntnissen kommen. Siehe auch 👉 Torus
Sie zieht ein blaues Band hinter sich. Das Ergebnis ist aber aus zwei Gründen sehr verblüffend: die zweite Expedition kommt vom Süden her irgendwann wieder am Ausgangspunkt an. Aber: sie hat sehr viel weniger Zeit benötigt als die erste Expedition. Und: es gibt nirgends eine Stelle, an der das rote Band der ersten Umrundung das blaue Band der zweiten Umrundung gekreuzt hat. Die zwei Bändern laufen nur gemeinsam im Start- und Endpunkt zusammen. Wie kann das sein? Die Antwort ist: Flatland könnte die Oberfläche eines Torus sein. [4]
Philosophische Bedeutung
Denkt man sich offen in die begrenzte Denkwelt der Bewohner des Flachlandes hinein, drängt sich bald die Frage auf, ob nicht auch wir als Bewohner einer dreidimensionalen Welt nicht in Wirklichkeit in einer noch höherdimensionalen Realität leben. Wie ernst man diesen Gedanken nehmen kann zeigt unter anderem, dass ein Genie der Wissenschaft wie der Vermesser Carl Friedrich Gauß (1777 bis 1855) die Idee durchaus ernst nahm.
ZITAT:
Waltershausen über Gauß: "Gauss, nach seiner öfters ausgesprochenen innersten Ansicht betrachtete die drei Dimensionen des Raumes als eine specifische Eigenthümlichkeit der menschlichen Seele; Leute welche dieses nicht einsehen könnten bezeichnete er ein Mal in seiner humoristischen Laune mit dem Namen Böotier. Wir können uns, sagte er, etwa in Wesen hineindenken, die sich nur zweier Dimensionen bewusst sind; höher über uns stehende würden vielleicht in ähnlicher Weise auf uns herabblicken, und er habe, fuhr er scherzend fort, gewisse Probleme hier zur Seite gelegt, die er in einem höhern Zustande später geometrisch zu behandeln gedächte." [14]
Waltershausen über Gauß: "Gauss, nach seiner öfters ausgesprochenen innersten Ansicht betrachtete die drei Dimensionen des Raumes als eine specifische Eigenthümlichkeit der menschlichen Seele; Leute welche dieses nicht einsehen könnten bezeichnete er ein Mal in seiner humoristischen Laune mit dem Namen Böotier. Wir können uns, sagte er, etwa in Wesen hineindenken, die sich nur zweier Dimensionen bewusst sind; höher über uns stehende würden vielleicht in ähnlicher Weise auf uns herabblicken, und er habe, fuhr er scherzend fort, gewisse Probleme hier zur Seite gelegt, die er in einem höhern Zustande später geometrisch zu behandeln gedächte." [14]
Die Böotier, Bewohner einer griechischen Landschaft, galten den gebildeten Athenern im antiken als rückständig, plump, denkfaul, borniert und provinziell. Gauß fürchtete sich in den 1820er Jahren, mit seinen neuen Ideen zu einer nichteuklidischen Geometrie höherer Dimensionen den Spott seiner mathematisch ungebildeten Zeitgenossen auf sich zu ziehen. Bemerkenswert an dem Zitat über Gauß ist auch, dass Gauß die Dreidimensionalität des Raumes nicht als Eigenschaft der Welt selbst hinnahm. Vielmehr sah er darin wohl erst einmal nur eine Eigenschaft menschlichen Denkens. Damit ist der große Gedankenkreis des Philosophen Immanuel Kant (1724 bis 1804) angerissen. Kant zufolge gibt es sogenannte Kategorien des Denkens, die nicht zwingend auch Kategorien der Wirklichkeit sein müssen. Das wiederum wirft die bis heute unbeantwortete Frage der Erkenntnistheorie auf, inwiefern die Inhalte unserer Denkprozesse die Realität um uns herum überhaupt korrekt wiedergeben. Siehe dazu den Artikel 👉 Kategorie (Philosophie)
Fußnoten
- [1] Als Satire auf die Viktorianische Gesellschaft: Edwin Abbott: Flatland. A Romance of Many Dimensions. 1884. Deutsch: Edwin A. Flachland. Übersetzt von Mirjam Rabe. Kommentierte Ausgabe. Springer Spektrum Verlag. 2023.
- [2] Humoristisch beschrieb Wilhelm Busch (1832 bis 1908), ein Pionier des Genre des Comics, eine flache Welt über mehrere Seiten: "Da lag sie vor uns, die Horizontalebene … Das Tor, welches wir passieren mussten, hatte nur Breite, aber nicht die mindeste Höhe." Eine soziale Folge ist die schwere Erkennbarkeit des Status: "Vornehme und Geringe sind auf den ersten Blick nur schwer zu unterscheiden". Und mehrere Seiten so, in: Wilhelm Busch: Eduards Traum.
- [3] Charles Howard Hinton: An Episode of Flatland. 1907. Erstveröffentlichung im Jahr 1904. Nachdruck: Manesse Verlag. Zürich. 1959. ISBN: 978-3-7175-4060-1. Dort ab Seite 19.
- [4] Flatland ist eine "two-dimensional universe resembling a giant plane". Die Bewohner dort können sich eine dritte Dimension zunächst nicht vorstellen. Das Beispiel mit den zwei Expeditionen stammt aus: Jeffrey R. Weeks: The Shape of Space. CRC Press. 2002. ISBN: 13-978-0-8247-0709-5. Dort das Kapitel "1. Flatland". Die Seiten 3 bis 12. Siehe auch 👉 The Shape of Space
- [5] Als simulierte zweidimensionale Software, in der es vor allem um die Physik, Chemie und Technik einer zweidimensionalen Welt geht: A. K. Dewdney: The Planiverse: Computer Contact with a Two-Dimensional World. 1984.
- [6] A. K. Dewdney: Two-dimensional Science and Technology. University of Western Ontario, 1980. 110 Seiten.
- [7] Franz Serafin Exner: Grundlagen der Naturwissenschaften. Deuticke Verlag. 1919. Dort wird ab Seite 18 die Idee einer Raumkrümmung entwickelt. Ausgangspunkt ist das Krümmungsmaß K definiert als 1/rho, welches ursprünglich von Carl Friedrich Gauß eingeführt worden sei. Das kleine griechisch rho sei der Krümmungsradius, "das ist der Radius eines Kreises von gleicher Krümmung wie sie die Kurve an dem betreffenden Punkte besitzt". Exner lässt hier für rho auch den Wert unendlich zu, bei einem eindimensionalen Raum zu einer Gerade führt. Ist rho konstant (aber nicht unendlich), so entsteht ein Kreis. Für zweidimensionale Räume ergibt sich das Krümmungsmaß K als 1/(rho1 mal rho2). Rho1 und rho2 nennt Exner hier die Hauptkrümmungsradien. Sind sie beide unendlich groß, wird der zweidimensionale Raum zu einer "Ebene". Exner extrapoliert dann weiter in den dreidimensionalen Raum und definiert dessen Krümmungsmaß als 1/(rho1 mal rho2 mal rho3), und gesteht ein "Eine geometrische Vorstellung lässt sich damit freilich nicht mehr verbinden". Exner geht dann auf die geometrisch-physikalische Deutung spezieller Werte für K ein.
- [8] Die Flacherde als Ausgangspunkt einer gekrümmten Raumzeit: "What has happened to the theory of the earth has happened also to the theory of the world of spacetime. An observer at rest at the earth's centre represents what is happening in a frame of space and time constructed on the usual conventional principles which give what is called a flat space-time. He can locate the events in his neighbourhood without distorting their natural simplicity. Objects at rest remain at rest; objects in uniform motion remain in uniform motion unless there is some evident cause of disturbance". In: Arthur Stanley Eddington: The Nature of the Physical World. MacMillan, 1928 (Gifford Lectures). Dort die Seite 118. Siehe auch 👉 gekrümmter Raum
- [9] Begley, Sharon. 1982: Life in Two Dimensions: Newsweek. January 18, pp. 84–85.
- [10] Dewdney, A.K. 1979. "Exploring the Planiverse." Journal of Recreational Mathematics. 12:16–20.
- [11] Dewdney, A.K. 2000. "The Planiverse Project: Then and Now." The Mathematical Intelligencer. 22:46–51.
- [12] Gardner, Martin. 1980/2001. "The Wonders of a Planiverse." Scientific American, July 1980; reprinted with appendix in The Colossal Book of Mathematics (New York: Norton).
- [13] Flatlanders, die in Wirklichkeit auf einer Kugeloberfläche wohnen, kämen letztenendlich hin zur Mathematik für eine 👉 sphärische Geometrie
- [14] Carl Friedrich Gauß über die Dreidimensionalität des Raumes als menschliche Denkkategorie: "Gauss, nach seiner öfters ausgesprochenen innersten Ansicht betrachtete die drei Dimensionen des Raumes als eine specifische Eigenthümlichkeit der menschlichen Seele; Leute welche dieses nicht einsehen könnten bezeichnete er ein Mal in seiner humoristischen Laune mit dem Namen Böotier. Wir können uns, sagte er, etwa in Wesen hineindenken, die sich nur zweier Dimensionen bewusst sind; höher über uns stehende würden vielleicht in ähnlicher Weise auf uns herabblicken, und er habe, fuhr er scherzend fort, gewisse Probleme hier zur Seite gelegt, die er in einem höhern Zustande später geometrisch zu behandeln gedächte." In: W. Sartorius von Waltershausen: Gauss zum Gedächtniss. 1856. Bemerkenswert an diesem Zitat über Gauß' Denken ist, dass Gauß die Dreidimensionalität zunächst einmal nur als Eigenschaft des menschlichen Denkens und damit nicht notwendigerweie auch als Eigenschaft der Wirklichkeit selbst betrachtete. Siehe dazu auch den Artikel zur 👉 Kategorie (Philosophie)