Linkskrümmung erkennen
Funktionen
Basiswissen
Rechnerisch und graphisch: wo ein Graph in einem xy-Koordinatensystem wie ein nach oben offene Schüssel aussieht ist er linksgekrümmt. Das kann man graphisch und auch rechnerisch bestimmen. Beides ist hier kurz erklärt.
Was wird erklärt?
- Wie man erkennt, ob oder wo ein Graph linksgekrümmt ist.
- Nicht erklärt wird die Stärke der Krümmung (Krümmungsmaß).
Über die zweite Ableitungen f''(x) > 0 =====
- f(x) = egal
- f'(x) = egal
- f''(x) > 0
- f'''(x) = egal
- In Worten: man muss nur überprüfen, ob die 2. Ableitung größer 0 ist.
- Wenn ja, dann ist der Graph an der Stelle mit dem x-Wert sicher linksgekrümmt.
- f''(x) > 0 ist für die Linkskrümmung eine sogenannte hinreichende Bedingung ↗
- Siehe auch zweite Ableitung bilden ↗
Über die zweite Ableitungen f''(x) = 0 =====
f''(x) = 0 ist ein interessante Sonderfall: dass f''(x) größer ist als 0 deutet eindeutig darauf hin, dass der Graph dort linksgekrümmt ist. Man sagt, dass die Bedingung hinreichend sei. Aber die Bedingung ist nicht notwendig. Das zeigt der Graph der Funktion f(x)=x^4. Er hat bei x=0 eindeutig gut erkennbar einen Tiefpunkt. Und an diesem Tiefpunkt liegt eindeutig Linkskrümmung vor. Dennoch ist der Wert der zweiten Ableitung bei x=0 nicht positiv (also > 0) sondern genau 0. Wenn die zweite Ableitung genau 0 ist, kann also Linkskrümmung vorliegen, muss es aber nicht. Lies mehr zu diesem Sonderfall unter zweite Ableitung gleich Null ↗
Tipp
- Das Zeichen > meint: größer als.
- 4>3 meint also: 4 ist größer als 3.
Kurven-Methode
- Stelle dir den Graphen von f(x)=x² vor.
- Das ist der Graph der Normalparabel.
- Stelle dir vor, der Graph ist auf den Boden gezeichnet.
- Du blickst senkrecht von oben auf ihn drauf.
- Gehe gedanklich immer von links nach rechts auf dem Graphen.
- Wenn du dann eine Linkskurve läufst, ist der Graph linksgekrümmt.
- Das ist bei f(x)=x² überall der Fall.
- Die Linkskurve kann auch sehr schwach sein.
- Es geht nur um die Richtung, nicht die Stärke.
Hügel-Loch-Methode
- Man stelle sich den Graphen auf einer Tafel gezeichnet vor.
- Wo der Graph zu einem Hügel passen würde, ist er rechtsgekrümmt.
- Wo der Graph zu einem Loch passen würde, ist er linksgekrümmt.
Öffnungs-Methode
- Man stelle sich den Graphen wieder an der Tafel gezeichnet vor.
- Wo der Graph nach oben geöffnet erscheint, ist er linksgekrümmt.
- Wo der Graph nach unten geöffnet erscheint, ist er rechtsgekrümmt.
Linien-Methode
- Man suche irgendwelche zwei Punkt auf dem Graphen aus.
- Man verbinde sie mit einer geraden Linie.
- Man überprüft, ob der Graph überall unterhalb dieser Linie verläuft.
- Man überprüfe das, für alle denkbaren Paare von zwei Punkten.
- Wo der Graph immer unterhalb solcher zweier Punkte liegt ist er linksgekrümmt.
Smiley-Methode
- Man stelle sich den Graphen als Smiley vor.
- Wo er lacht, ist er linksgekrümmt.
- Siehe auch Smiley ↗
f''(x) = 0 ist ein interessante Sonderfall: dass f''(x) größer ist als 0 deutet eindeutig darauf hin, dass der Graph dort linksgekrümmt ist. Man sagt, dass die Bedingung hinreichend sei. Aber die Bedingung ist nicht notwendig. Das zeigt der Graph der Funktion f(x)=x^4. Er hat bei x=0 eindeutig gut erkennbar einen Tiefpunkt. Und an diesem Tiefpunkt liegt eindeutig Linkskrümmung vor. Dennoch ist der Wert der zweiten Ableitung bei x=0 nicht positiv (also > 0) sondern genau 0. Wenn die zweite Ableitung genau 0 ist, kann also Linkskrümmung vorliegen, muss es aber nicht. Lies mehr zu diesem Sonderfall unter zweite Ableitung gleich Null ↗
Tipp
- Das Zeichen > meint: größer als.
- 4>3 meint also: 4 ist größer als 3.
Kurven-Methode
- Stelle dir den Graphen von f(x)=x² vor.
- Das ist der Graph der Normalparabel.
- Stelle dir vor, der Graph ist auf den Boden gezeichnet.
- Du blickst senkrecht von oben auf ihn drauf.
- Gehe gedanklich immer von links nach rechts auf dem Graphen.
- Wenn du dann eine Linkskurve läufst, ist der Graph linksgekrümmt.
- Das ist bei f(x)=x² überall der Fall.
- Die Linkskurve kann auch sehr schwach sein.
- Es geht nur um die Richtung, nicht die Stärke.
Hügel-Loch-Methode
- Man stelle sich den Graphen auf einer Tafel gezeichnet vor.
- Wo der Graph zu einem Hügel passen würde, ist er rechtsgekrümmt.
- Wo der Graph zu einem Loch passen würde, ist er linksgekrümmt.
Öffnungs-Methode
- Man stelle sich den Graphen wieder an der Tafel gezeichnet vor.
- Wo der Graph nach oben geöffnet erscheint, ist er linksgekrümmt.
- Wo der Graph nach unten geöffnet erscheint, ist er rechtsgekrümmt.
Linien-Methode
- Man suche irgendwelche zwei Punkt auf dem Graphen aus.
- Man verbinde sie mit einer geraden Linie.
- Man überprüft, ob der Graph überall unterhalb dieser Linie verläuft.
- Man überprüfe das, für alle denkbaren Paare von zwei Punkten.
- Wo der Graph immer unterhalb solcher zweier Punkte liegt ist er linksgekrümmt.
Smiley-Methode
- Man stelle sich den Graphen als Smiley vor.
- Wo er lacht, ist er linksgekrümmt.
- Siehe auch Smiley ↗
