Krümmung
Graphen
Definition
Gibt an, ob ein Funktionsgraph von links nach rechts gehend eine Links- oder Rechtskurve macht. Die Stärke der Krümmung spielt keine Rolle, nur die Richtung. Die Berechnung erfolgt über die zweite Ableitung f''(x).
Krümmung in der Schulmathematik
- In der Schulmathematik gehört das Wort zum Thema Kurvendiskussion.
- Es geht immer um die Graphen von Funktionen, z. B. f(x)=4x³-x².
- Man unterscheidet Linkskrümmung und Rechtskrümmung.
- Ein Graph kann in manchen Bereichen linksgekrümmt sein.
- Derselbe Graph kann in anderen Bereichen rechtsgekrümmt sein.
- Es gibt auch Graphen oder Teile von Graphen ohne Krümmung.
- (Ohne Krümmung meint hier dasselbe wie "Krümmung ist 0.)
Linkskrümmung von Graphen
- Wo ein Graph eher auf ein Loch passt ist er linksgekrümmt ↗
- Der Graph erscheint dort auch wie nach oben geöffnet ↗
- Der Wert der zweiten Ableitung f''(x) ist positiv.
- Mehr dazu unter Linkskrümmung ↗
Rechtskrümmung von Graphen
- Wo ein Graph eher auf einen Hügel passt ist er rechtsgekrümmt ↗
- Der Graph erscheint dort auch wie nach unten geöffnet ↗
- Der Wert der zweiten Ableitung f''(x) ist negativ.
- Mehr dazu unter Rechtskrümmung ↗
Die Krümmungsrichtung bestimmen
- Graphisch und rechnerisch Krümmung bestimmen ↗
- Nur graphisch Krümmung aus Graph ↗
- Nur rechnerisch Krümmung berechnen ↗
Krümmung und Wendepunkte
- Das ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen.
- An diesem Punkt wechselt die Krümmung von links nach rechts ...
- oder von rechts nach links.
- Mehr unter Wendepunkt ↗
Zahlenbeispiel für eine Funktion
- Man betrachte den Graphen von: f(x) = x³-2x²
- Dier erste Ableitung ist: f'(x) = 3x²-4x
- Die zweite Ableitung ist: f''(x) = 6x-4
- Der Wendepunkt WP liegt bei: x≈0,67
- Links vom WP ist der Graph rechtsgekrümmt ↗
- Rechts vom WP ist der Graph linksgekrümmt ↗
Die Stärke einer Krümmung
- In der Schulmathematik geht es nur um links oder rechts.
- Das wird oft auch Krümmungsverhalten genannt.
- Die Stärke der Krümmung heißt Krümmungsmaß.
- Krümmungsmaß meint dasselbe wie geometrische Krümmung.
- Das wird normalerweise in der Schulmathematik nicht behandelt.
- Dazu siehe unter Krümmungsmaß ↗
Tipps
- Krümmung meint in der Schulmathematik: links oder rechts
- Krümmung meint nicht, wie stark ein Graph gekrümmt ist.
- Wo sich die Krümmung ändert, liegt ein Wendepunkt vor.
- Die zweite Ableitung gibt einem die Krümmung.
- Mehr unter zweite Ableitung bilden ↗