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Zweite Ableitung gleich Null


Anschaulich


Basiswissen


f''(x) = 0, also die zweite Ableitung von f(x) ist an einer Stelle null: diese Information alleine lässt so gut wie keinen weiteren Schluss auf die Form des Graphen zu. Möglich ist, dass der Graph an dieser Stelle einen Hoch- oder Tief-, Sattel- oder Wendepunkt hat oder dass er dort eine Gerade ist. Die Möglichkeiten sind hier kurz vorgestellt.

Was ist die zweite Ableitung?


f(x) = x³-3x² -> einmal ableiten -> f'(x) = 3x²-6x -> noch mal ableiten -> f''(x) = 6x-6. Wenn man in die zweite Ableitung f''(x) jetzt zum Beispiel die Zahl 1 einsetzt erhält man: f''(1)=0. An der Stelle x=1 wird die zweite Ableitung gleich 0. Die Funktion f''(x) sowie auch den Zahlenwert, den man für eine eingesetzte Zahl erhält, nennt man beide die zweite Ableitung. Mehr unter zweite Ableitung ↗

Man weiß nichts über die Krümmung!


Allgemein gilt, dass die zweite Ableitung einer Funktion immer negativ ist, wo der Graph rechtsgekrümmt ist. Und wo der Graph linksgekrümmt ist, ist der Wert der zweiten Ableitung immer auch positiv. Aber der Umkehrschluss gilt nicht: man kann nicht zwingend schließen, dass der Graph weder links- noch rechtsgekrümmt ist, wo die zweite Ableitung 0 ergibt. Das zeigt das Beispiel weiter unten zu f(x)=x^4.

1. Möglichkeit: gerader Graph



2. Möglichkeit: LR-Wendepunkt



3. Möglichkeit: RL-Wendepunkt



4. Möglichkeit: Sattelpunkt



5. Möglichkeit: Tiefpunkt



6. Möglichkeit: Hochpunkt



Wichtige Zeichen



Notwendig und hinreichend


Dass die zweite Ableitung gleich Null ist, ist für Geraden und Wendepunkte eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung. Siehe auch notwendige aber nicht hinreichende Bedingungen ↗

Tipp: Wert oder Funktion


Das Wort Ableitung wird in zwei ähnlichen aber leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Für f(x)=x² ist f'(x)=2x die sogenannte Ableitungsfunktion. Und f'(4)=8 ist der sogenannte Ableitungswert, auch Steigung genannt, an der Stelle x=4. Beides, die Ableitungsfunktion wie auch den Ableitungswert an einer Stelle nennt man kurz oft Ableitung. In diesem Artikel steht Ableitung für den Ableitungswert ↗

Fußnoten