R


Hinreichende Bedingung


Mathematik


Kurzeispiel


Hinreichend heißt so viel wie ausreichend: Genug Heu gefressen zu haben ist eine hinreichende Bedingung für das Sattsein eines Hamster. Es ist aber nicht notwendig, der Hamster würde auch mit Karotten satt werden. Die hinreichende Bedingung ist hier für die Mathematik weiter erklärt.

Definition


Hinreichend heißt in der Logik, dass eine oder mehrere miteinander verbundene Aussagen für sich alleine einen zu ihnen gehörigen Schluss zulassen. Man muss dann keine weiteren Bedingungen mehr überprüfen: dass es gerade regnet ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass Süßwasser auf eine offene Meeresfläche fällt. Hier folgen noch einige Beispiele aus der Mathematik.

Beispiel: Hochpunkt


In der Analysis, das heißt hier in der Untersuchung von Graphen von Funktionen, werden sogenannten Hochpunkte von Funktionen gesucht. Das sind Punkte, deren Nachbarpunkte beide niedriger liegen als der Punkt selbst. Wenn der x-Wert eines vermuteten Hochpunktes eingesetzt in die erste Ableitung f'(x) genau 0 ergibt und eingesetzt in die zweite Ableitung eine negative Zahl gibt, dann kann man sich sicher sein, dass bei diesem x-Wert ein Hochpunkt vorliegt. Die hinreichende Bedingung ist hier die Kombination aus f'(x)=0 und f''(x)<0. Lies mehr unter Hochpunkte über Analysis ↗

Beispiel: Teilbarkeit


Man will überprüfen, ob die Zahl 34200 durch 6 teilbar ist. Teilbar meint hier, dass beim Teilen durch 6 am Ende kein Rest übrig bleibt. Es gilt die Regel: Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann muss sie auf jeden Fall gerade sein. Ungerade Zahlen kann man nie durch 6 teilen. Dass die Zahl gerade sei ist also eine notwendige Bedingung. Das alleine genügt aber noch nicht. Nicht jede gerade Zahl ist automatisch auch durch 6 teilbar. Die Geradzahligkeit ist also notwendig, sie langt aber alleine noch nicht aus. Man sagt: sie ist noch nicht hinreichend (ausreichend). Erst wenn die Zahl zusätzlich auch noch durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch durch 6 teilbar. Die hinreichende Bedingung für die Teilbarkeit für 6 wäre also: ist gerade und durch 3 teilbar. Wenn diese zwei Eigenschaften auf eine Zahl zutreffen, dann ist sie sie sicher durch 9 teilbar. Beide Bedingungen zusammen nennt man hinreichend. 34200 ist sowohl gerade als auch durch 3 teilbar (Quersummenregel). Die hinreichende Bedingung gilt, also ist 34200 durch 6 teilbar. Siehe auch Quersummenregel ↗

Notwendig aber nicht hinreichend


Ein hinreichende Bedingung wird oft in Verbindung mit einer sogenannten notwendigen Bedingung betrachtet. Notwendig heißt eine Bedingung, wenn sie auf jeden Fall erfüllt sein muss, um auf einen interessierenden Sachverhalt schließen zu können. Ein typisches Beispiel ist die Teilbarkeit durch 6. Wenn eine Zahl durch 6 teilbar sein soll, dass muss sie notwendigerweise auch durch 2 teilbar sein. Die Teilbarkeit durch 2 ist eine notwendige Bedingung für die Teilbarkeit durch 6. Die Teilbarkeit durch 2 ist aber keine hinreichende Bedingung für die Teilbarkeit durch 6. Eine Zahl kann durch 2 teilbar sein, ohne aber durch 6 teilbar sein zu müssen Das gilt zum Beispiel für die Zahl 2, 4, 8, 10 oder 14. Weitere Beispiele dazu stehen unter notwendige aber nicht hinreichende Bedingungen ↗