Zentraler elastischer Stoß

Physik

Basiswissen｜ Was meint zentral?｜ Was meint elastisch?｜ Was wird oft berechnet?｜ Was ist die Berechnungsidee?｜ Welche Erhaltungssätze gelten?｜ Impulserhaltung｜ Erhaltung der kinetischen Energie｜ Erhaltung der Relativgeschwindigkeiten｜ Übersicht｜ Legende｜ Vorzeichen｜ Fußnoten

Basiswissen

Ein zentraler elastischer Stoß, auch eindimensionaler elastischer Stoß genannt^[1], verläuft mittig, ohne Verlust von Bewegungsenergie: der zentrale elastische Stoß wird zum Beispiel zur Berechnung von Bahnen von Billardkugeln verwendet. Das ist hier mit Fachworten erklärten.

Was meint zentral?

Zentral meint, dass sich die Körper auf einer gemeinsamen Geraden bewegen ...

und zwar vor und auch hinter dem Stoß auf derselben.

Für diesen Fall gibt es vereinfachte Formeln.

(Vor allem: man braucht keine Vektoren.)

Was meint elastisch?

Elastisch meint, dass beide Körper hinterher wieder dieselbe Form haben wie vorher.

Stahlkugeln etwa stoßen normalerweise elastisch miteinander zusammen.

Für die Berechnung bedeutet das, dass kinetiche Energie erhalten bleibt.

(nicht elastisch würde heißen, dass kinetische Energie verloren geht.)

Solche Stöße heißen auch: vollkommen elastischer Stoß ↗

Was wird oft berechnet?

Es geht so gut wie immer um genau zwei Körper, die zusammenstoßen.

Bei den Körper betrachtet man ihre Massen, sowie ...

ihre Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß.

Eine oder zwei dieser Angaben fehlen oft.

Sie müssen dann berechnet werden.

Was ist die Berechnungsidee?

Beim zentralen elastischen Stoß gelten immer zwei Formeln gleichzeitig:

Der Impulserhaltungssatz und die Erhaltung der kinetischen Energie.

Beide Formeln (Gleichungen) zusammen kann man als Gleichungssystem auffassen.

Man muss also letztendlich ein Gleichungssystem lösen:

Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren.

(Es gibt aber auch schon fertig umgestelle Formeln.)

Welche Erhaltungssätze gelten?

Bei einem Stoß bleibt der Gesamtimpuls immer enthalten.

Das gilt für plastische wie auch für elastische Stöße.

Bei elastischen Stößen bleibt zusätzlich die Bewegungsenergie erhalten.

Bewegungsenergie ist dasselbe wie kinetische Energie.

Auch der Betrag der Geschwindigkeitsdifferenzen bleibt erhalten.

Impulserhaltung

Die Impulserhaltung gilt ganz allgemein für jede Art von Stoß, ja überhaupt für jede Art von physikalischen Vorgängen im Sinne der klassischen Physik. Damit gilt die Impulserhaltung automatisch auch für den zentralen elastischen Stoß.

p vorher = p nachher

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v₁' + m₂·v₂'

Üblicherweise muss der Impuls nicht nur als reine Zahl sondern als Vektor betrachtet werden. Beim Impuls eines Objektes kommt es nämlich nicht nur auf die Geschwindigkeit und Masse sondern auch auf die Richtung der Bewegung an. Beim zentralen elastischen Stoß allerdings kann diese Vektordenkweise entfallen, da alle Bewegungen entlang einer gemeinsamen Geraden ablaufen. Für die Impulse hier genügt es, m·v zu rechnen, also Masse mal Geschwindigkeit eines Körpers. Mehr unter Impuls ↗

Erhaltung der kinetischen Energie

Anders als der Impuls ist die kinetische Energie keine Größe, die ganz allgemein erhalten bleibt. Wenn zwei Kugel aus Knete mit hoher Geschwindigkeitkeit aufeinanderpralle, dann hatten sie vorher zusammen viel kinetische Energie, hinterher kann sie Null sein. Bei einem vollständigen elastischen Stoß aber bleibt die Menge der kinetischen Energie immer gleich groß.

Ekin vorher = Ekin nachher

½·m₁·v₁² + ½·m₂·v₂² = ½·m₁·v₁'² + ½·m₂·v₂'²

Anders als der Impuls wird die kinetische Energie niemals vektoriell gedeutet. Um die kinetische Energie eines Körpers anzugeben genügt es immer, einen Zahlenwert in Verbindung mit einer Einheit anzugeben.

Erhaltung der Relativgeschwindigkeiten

Bei einem zentralen elastischen Stoß bleibt auch die Differenz der Geschwindigkeiten zwischen den zwei Körper vor immer gleich groß wie die Differenz der Geschwindigkeiten nach dem Stoß.

Δv vorher = Δv nachher

|v₂′ − v₁′| = |v₁ − v₂|

Die Betragsstriche || deuten an, dass man die Geschwindigkeit nicht vektoriell betrachtet (was man machen könnte) sondern nur die Menge nicht aber die Richtung der Geschwindigkeit betrachten muss. Die Betragssstriche bedeuten auch, dass von der Differenz zwischen ihnen immer nur der positive Teil genommen wird. Beispiel: |4-3|=1 und |3-4|=1. In beiden Fällen ist das Ergebnis - der Betrag der Differenz - die Zahl 1.

Übersicht

v₁' = (2·m₂·v₂+(m₁-m₂)·v₁)/[m₁+m₂]

v₂' = (2·m₁·v₁+(m2-m₁)·v₂)/[m₁+m₂]

|v₂′ − v₁′| / |v₁ − v₂| = 1

Legende

m₁ = Masse des einen Körpers

m₂ = Masse des anderes Körpers

v₁ = Geschwindigkeit des einen Körpers vor dem Stoß

v₂ = Geschwindigkeit des anderen Körpers vor dem Stoß

v₁' = Geschwindigkeit des einen Körpers nach dem Stoß

v₂' = Geschwindigkeit des anderen Körpers nach dem Stoß

Vorzeichen

Bei den Geschwindigkeiten ist das Vorzeichen wichtig.

Gleiches Vorzeichen beim v heißt, dass sich beide Körper in die gleiche Richtung bewegen.

Unterschiedliche Vorzeichen heißen, dass sie sich aufeinander zu

oder voneinander weg bewegen.

Tipp: Geschwindigkeiten von links nach rechts immer positiv einsetzen ...

und Geschwindigkeiten von rechts nach links immer negativ einsetzen.

Ein Tischversuch eines Schülers: schon mit recht einfachen Mitteln kann man die Theorie recht gut in der Praxis nachstellen. Obwohl die zwei Holzkugeln leicht unterschiedliche Durchmesser hatten, passten doch die Formeln für einen zentralen elastischen Stoß recht gut zu den Messwerten. (CCO by Julian11.08 auf Wikimedia)

Fußnoten

[1] David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Halliday. Physik. Englischer Originaltitel: Fundamentals of Physics. Wiley-VCH Weinheim. 2007. ISBN: 978-3-527-40746-0. Dort das Kapitel "10-5 Elastische, eindimensionale Stöße".