Totalreflexion

Physik

Basiswissen｜ Video｜ Fakten zur Totalreflexion｜ Der Grenzwinkel｜ Rechenbeispiel｜ Bedeutung in der Biologie

Basiswissen

Totalreflexion tritt (nur) auf, wenn Licht relativ flach von einem optisch dichteren Medium (z. B. Glas, Wasser) kommende auf eine Grenzfläche hin zu einem optisch dünneren Medium (z. B. Luft) auftrifft. Der größte Teil des Lichts wird dann an dieser Grenzfläche wie an einem Spiegel reflektiert. Lässt man Licht erst relativ steil auf eine geeignete Grenzfläche fallen, tritt keine Totalreflexion auf. Flacht man den Winkel dann immer weiter ab, wird relativ plötzlich, ab dem sogenannten Grenzwinkel, fast das gesamte Licht zurück ins Herkunftsmedium reflektiert.

Video

Ein grüner Laserstrahl wird nach und nach so flach von unten auf eine Wasseroberfläche gerichtet, dass nach dem Erreichen des sogenannten Grenzwinkels eine Totalreflexion stattfindet.

Fakten zur Totalreflexion

Tritt nur an Grenzflächen zwischen zwei lichtdurchlässigen Medien auf.

Tritt nur auf, wenn Licht vom optisch dichteren Medium kommt: Wasser Richtung Luft ist geeignet.

Tritt nicht auf, wenn Licht vom optisch dünneren Medium kommt. Luft Richtung Wasser ist nicht geeignet.

Tritt erst ab einer bestimmten Flachheit des Winkels zwischen Lichtstrahl und Grenzfläche auf.

Der Grenzwinkel

Der Winkel, ab dem eine Totalreflexion auftritt, heißt Grenzwinkel. Man kann den Grenzwinkel mit Hilfe des Snelliusschen Gesetzes berechnen. Dabei wird der Winkel aber nicht zwischen den ein- und ausfallenden Lichtstrahlen und der Grenzfläche gemessen, sondern zwischen den ein- und ausfallenden Lichtstrahlen und dem Lot (der Normalen, der Orthogonalen) auf der Grenzfläche.

Formel

n₁ · sin α₁ = n₂ · sin α₂

n₁ : n₂ = sin α₂ : sin α₁

sin α₁ : n₁ = sin α₂ : n₂

Legende

α₁ = Winkel zum Lot im Medium 1, z. B. 80°

α₂ = Winkel zum Lot im Medium 2, ist gesucht

n1 = Brechzahl im Medium 1, z. B. ≈ 1,33 für Wasser

n₂ = Brechzahl im Medium 2, z. B. ≈ 1,00 für Luft

/ = ein normales 👉 Geteiltzeichen

· = ein normales 👉 Malzeichen

Wenn das Medium 1 das optisch dichtere ist, etwa Wasser, dann kann man irgendeine der drei Varianten des Snelliusschen Gesetzes nehmen und die Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach dem Ausfallswinkel α₂ umstellen.

n₁ · sin α₁ = n₂ · sin α₂ | umformen nach α₂

α₂ = arcsin [(n₁ · sin α₁)/n₂]

Der gesuchte Ausfallswinkel α₂ ist also gleich dem Arkussinus des Quotienten aus dem Produkt der Brechzahl des dichteren Mediums und dem Sinus des Einfallswinkels mit der Brechzahl des optisch dünneren Mediums.

Nun ist der Arkussinus aber nur für Werte zwischen einschließlich 0 und 1 definiert. Das heißt, dass das Argument des Arcussinus (der Term: n₁ · sin α₁)/n₂) nicht kleiner als Null und nicht größer als Eins sein darf. Tritt das auf, gibt es keine Brechung mehr. Für die erlaubten Werte des Einfallswinkels und der Brechungszahlen kann man negative Werte für das Argument ausschließen. Es muss dann nur noch der Fall ausgeschlossen werden, dass der Term (n₁ · sin α₁)/n₂ größer als 1 wird.

Wann wird (n₁ · sin α₁)/n₂ größer als 1?

Man kann den Term umstellen zu: sin α₁ · n₁/n₂

Den Quotienten n₁/n₂ kann man ausrechnen.

Für Wasser und Luft wird n₁/n₂ zur Zahl: 1,33

Der Grenzfall tritt dann ein, wenn: 1,33 · sin α₁ = 1

Umstellen nach α₁ gibt:

α₁ = arcsin(1/1,33) | berechnen

α₁ ≈ 49°

Der Grenzwinkel für den Übergang zwischen einer Brechung und einer Totalreflexion von Licht beim Übergang von Wasser in Luft liegt bei etwa 49° (gemessen zum Lot) oder etwa 41° gemessen zur Grenzfläche von Wasser und Luft.

Rechenbeispiel

Mit Hilfe von Laserstrahlen kann man die Brechung und Reflexion von Licht zwischen Wasser und Luft recht bequem untersuchen. Nehmen wir einen Lichtstrahl, der vom Wasser her kommend von unten ziemlich flach auf die Wasseroberfläche trifft. Wenn der Winkel zwischen Lichtstrahl und Wasseroberfläche 10° betragen soll, dann entspräche des gemessen am Lot einem Einfallswinkel von 80°. Theoretisch sollte Totalreflexion auftreten. Die folgende Rechnung zeigt, woran man das mathematisch erkennen kann.

Annahmen

n₁ für Wasser: 1,33

n₂ für Luft: 1,00

α₁ = 80°

Einsetzen

α₂ = arcsin^{[1,33·sin(80°)/1,00]} | berechnen

α₂ ≈ arcsin^{[1,33·0,9848]} | berechnen

α₂ ≈ arcsin^[1,3098]

Da der Arkussinus aber nur für Werte zwischen einschließlich 0 und 1 definiert ist, kann der Term für arcsin(1,3098) nicht berechnet werden. Das es mathematisch keinen Wert für den Ausfallswinkel α₂ gibt entspricht der Tatsache der Wirklichkeit, dass es für den Einfallswinkel 80° keinen Brechwinkel hin ins optische dünnere Medium gibt. Es gibt also keine Brechung sondern eine Totalreflexion.

Bedeutung in der Biologie

Tiere, die unter Wasser leben, können den Himmel und was oberhalb der Wasseroberfläche ist, nur durch ein kleines Sichtfenster gut erkennen. Ansonsten wirkt die Oberfläche des Wassers für sie wie ein großer Spiegel: blicken die Tiere von unten gegen die Wasseroberfläche, sehen sie vor allem Spiegelungen des Meeresbodens oder des Meereswassers. Siehe dazu der Artikel zum 👉 Snell-Fenster