Satz vom Nullprodukt

Algebra

Grundidee｜ Formulierungen｜ Einfache Beispiele｜ Anwendung auf Gleichungen｜ In Produktform umwandeln｜ Weitere Beispiele｜ Aufgaben dazu?

Grundidee

4·0·245·(4+5)=0: wenn in einer Malkette einmal die Null als Faktor (was man malnimmt) auftaucht, dann wird die ganze Malkette zu Null. Entsprechend bezeichnet man den ganzen Produktterm auch als Nullprodukt. Dieser Satz vom Nullprodukt erleichtert sehr die Lösung mancher Arten von Gleichungen. Das ist hier näher erklärt.

Formulierungen

Bleiben wir zunächst noch kurz bei verschiedenen Möglichkeiten, den Satz vom Nullprodukt in Worten auszudrücken. Dazu macht es Sinn, einige Fachworte zu wiederholen.

Eine Malkette, etwa a·b·c bezeichnet man auch als 👉 Produktterm

Das Ergebnis, den Wert einer Malkette nennt man 👉 Produktwert

Sowohl Produktterm wie auch Produktwert bezeichnet man kurz auch als 👉 Produkt

Jeder Teil des Produktterms wie a, b oder c nennt man 👉 Faktor

Wird etwas zu Null, spricht man auch von einem 👉 Verschwinden

⇔ spricht man als "genau dann wenn" und heißt 👉 Äquivalenzzeichen

Mit diesen Fachworten kann man den Satz vom Nullprodukt jetzt auf verschiedene Weisen ausdrücken. Man kann sich diejenige Formulierung auswählen, die man sich am besten merken kann.

Ist ein Faktor eines Produktterms Null, wird der ganze Produktwert zu Null.

Eine Malkette mit einer Null als Faktor verschwindet (wird zu Null).

Ein Produkt wird genau dann zu 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

a·b = 0 ⇔ a=0 oder b=0

Die letzte Formulierung verwendet nur noch mathematische Symbole. Man kann sie übersetzen als: ein Produkt zweier Faktoren a und b wird genau dann zu 0, wenn a=0 ist oder wenn b=0 ist (oder wenn a und b = 0 sind).

Einfache Beispiele

Achte darauf, dass bei den folgenden Beispielen immer einer der Faktoren zu 0 wird und damit auch die ganze Malkette, also der Produktwert.

4·0 = 0 ✓

0·4 = 0 ✓

4·111111·0·45357 = 0 ✓

3·(27+3-2·15)·99 = 0 ✓

10000·(100-2·50) = 0 ✓

Falsch wäre hingegen die Aussagen, dass eine Malkette, eine Produktterm, immer dann 0 wird, wenn irgendwo eine Null vorkommt. Der Term 10000·4 enthält vier Nullen als Ziffern der Zahl 10000. Dennoch ist 10000 mal 4 nicht Null. Und auch 99·(3+0) enthält eine Null, wird aber am Ende ausgerechnet auch nicht zur Zahl Null. Wichtig ist, dass die Null selbst ein Faktor der Malkette ist.

Anwendung auf Gleichungen

Der Satz vom Nullprodukt macht die Lösung verschiedener Arten von Gleichungen deutlich einfacher als sie ohne die Kenntnis dieses Satzes wäre. Man kann den Satz direkt anwenden, wenn auf einer Seite der Gleichung ein Produktterm steht und auf der anderen Seite nur die Zahl 0:

444·x·23 = 0

Hier muss man nicht erst durch 444 oder durch 23 teilen oder sonstwie rechnen. Ohne überhaupt irgendwie umzuformen oder zu rechnen kann man sofort sagen, dass die linke Seite genau dann zu Null wird, wenn man für die Unbekannte x die Zahl 0 einsetzt. Das x ist hier direkt ein Faktor der Malkette die zu 0 werden soll. Als Lösung kann man dann schreiben: x=0

Im folgenden Beispiel ist das x nicht direkt ein Faktor der Malkette die zu Null werden soll. Dennoch erleichtert der Satz vom Nullprodukt die Lösung deutlich:

444·(2x-8)·23 = 0

Hier ist der ganze Klammerterm (2x-8) ein Faktor der Malkette. Also müsste dieser ganze Faktor, also die ganze Klammer, zur Zahl 0 werden, sodass auch die ganze linke Seite zu Null wird. Wieder kann man die anderen Faktoren ignorieren. Man muss nur noch fragen: wann, also für welche Zahlen für x, wird 2x-8 zu Null? Mathematisch kann man das wieder als Gleichung formulieren und schreibt: 2x-8 = 0. Löst man diese Gleichung auf, erhält man: x=4. Denn: 2·4-8 = 0. Damit ist auch die Lösung der ursprünglichen Gleichung: x=4

Besonders nützlich ist der Satz vom Nullprodukt, wenn die linke Seite der Gleichung ein Produkt aus sehr vielen Faktoren ist, bei denen mehrere Faktoren ein x enthalten:

(x+4)·(x²-9)·(2x-9)·(x³-8) = 0

Wenn irgendeiner dieser Klammerterme zu Null wird, dann wird sofort auch die ganze linke Seite der Gleichung zu Null. Man muss also weder die Klammern auflösen noch sonstwie rechnen. Man kann sich sofort die einzelnen Klammerterme als Faktoren der Malkette einzeln vornehmen. Und jede der Klammerterme für sich alleine betrachtet ist sehr viel einfacher als der ganze große Produktterm auf der linken Seite. Man kann jetzt also einzeln untersuchen:

x+4 = 0

x²-9 = 0

2x-9 = 0

x³-8 = 0

Löst man jede einzelne dieser Teilgleichungen aus der ursprünglichen Gleichung, erhält man auch die Lösungen der ursprünglichen Gleichung:

x+4 = 0 ⇔ x=-4 ✓

x²-9 = 0 ⇔ x=3 oder x=-3 ✓

2x-9 = 0 ⇔ x=4,5 ✓

x³+1 = 0 ⇔ x=-1 ✓

Die ursprüngliche Gleichung hat also insgesamt 5 verschiedene Lösungen. Oft schreibt man das dann als Lösungsmenge mit den geschweiften Klammern auf: L = {4; 3; -3; 4,5; -1}

In Produktform umwandeln

Die etwas längeren Ausführungen oben sollten zeigen, dass man bei einer Gleichung in Produktform die Lösungen oft fast schon ablesen kann. Zumindest aber wird die Lösung oft sehr einfach, wenn eine Gleichung auf der linken Seite einen Produktterm und rechts nur noch eine 0 stehen hat.

Es gibt auch Gleichungen, die zunächst überhaupt nicht nach einer Produktform aussehen, die man aber trotzdem in eine solche umwandeln kann. Das umwandeln eines Terms in eine Produktform bezeichnet man auch als Faktorisieren. Man wandelt einen Term so um, dass er am Ende aus Faktoren eines Produktes besteht. Betrachten wir dazu ein Beispiel:

4x²-8x = 0 | links das x ausklammern

x·(4x-8) = 0 | links hat man jetzt die Produktform

Nach dem Ausklammern von einem x wurde aus dem Differenzterm 4x²-8x der Produktterm x(4x-8). Für den Produktterm kann man mit dem Satz vom Nullprodukt sofort herausfinden, das x=0 und x=2 Lösungen der Gleichungen sind.

Im folgenden Beispiel kann man zwar nicht ausklammern, aber mit Hilfe der dritten binomischen Formel kann man dennoch aus einer Differenz ein Produkt machen:

x²-4 = 0 | 👉 dritte binomische Formel

(x+2)·(x-2) = 0 | links hat man die Produktform

Wieder kann man jetzt direkt die Lösungen ablesen, nämlich x=-2 und x=0. Einen Term in eine Produkt umzuwandeln ist oft der schwierigste Teil beim Lösen entsprechender Gleichungen. Erst nach viel Übung erkennt man geeignete Möglichkeiten. Eine ausführliche Erklärung dazu steht im Artikel zum 👉 Faktorisieren

Weitere Beispiele

x·(x-1) = 0 L = {0; 1}

(x+3)·(x²-1)·x = 0 L = {-3;-1; 1; 0}

(x³-27)·(x³+125)·x·(x-1) L = {3; -5; 0; 1}

Aufgaben dazu?

Einige Aufgaben zum Satz vom Nullprodukt sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu allen Aufgaben gibt es immer auch eine Lösung. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck