Ausklammern
Anleitung
Basiswissen
4a + 2b ist mit 2 ausgeklammert: 2·(2a+b). Hier wird erklärt, was das anschaulich meint und wie man praktisch ausklammert. Durch Ausklammern macht man aus einer Plus- oder Minuskette eine Malkette.
Was meint Ausklammern anschaulich?
- Man hat eine Summe, etwa: 12 Äpfel + 8 Birnen
- Man kann die Äpfel und Birnen auf mehrere Säcke verteilen.
- In jeden Sack soll die gleiche Anzahl von Äpfeln und Birnen.
- Man könnte zum Beispiel nehmen: 2 Säcke mit je 6 Äpfeln und 6 Birnen.
- Die Säcke werden durch die runden Klammern () angedeutet.
- Man kann schreiben: 12 Äpfel + 8 Birnen = 2 mal (6 Äpfel + 4 Birnen)
- Oder kurz und nur mit Zahlen: 12 + 8 = 2·(6+4)
Welche Sprechweisen gibt es?
- Ein neues Beispiel: 20 Äpfel + 10 Birnen = 5 mal (4 Äpfel + 2 Birnen)
- Oder wieder kurz in Zahlen: 20 + 10 = 5·(4 + 2)
- Man sagt hier: die 2 wurde ausgeklammert.
- Oder: die 2 wurde vor die Klammer gezogen.
- Die 2 nennt man auch den Vorfaktor.
Was ist die Gegenrechnung?
- Die Gegenrechnung zum Ausklammern ist das Ausmultiplizieren.
- Wenn man erst ausklammer und dann ausmultipliziert, ...
- muss wieder der ursprüngliche Term entstehen.
- Beispiel: 15x+10y ⭢ 5 ausklammern ⭢ 5·(3x+2y)
- Ausmultiplizieren: 5·(3x+2y) = 15x+10y ✔
- Mehr dazu unter ausmultiplizieren ↗
Was soll man vor die Klammer ziehen?
- Man kann jede Zahl außer der 0 vor eine Klammer ziehen.
- Man kann auch jede Variable, wie x, immer vor eine Klammer ziehen.
- Was man vor die Klammer zieht, hängt von der jeweiligen Aufgabe ab.
- Gut ist immer eine Zahl oder Variable, die in allen Teilen der Summe enthält.
- Beispiel a) 100+50: hier könnte man gut die 50 ausklammern: 50·(2+1)
- Beispiel b) 10x+5x: hier könnte man gut das x ausklammern: x·(10+5)
- Beispiel c) 4x³+x²: hier könnte man gut das x² ausklammern: x²·(4x+1)
- Mache immer die Probe mit dem Ausmultiplizieren.
- Dann sieht man gut, wie man ausklammern kann.
Wie klammert man aus?
- Man überlegt zuerst, was man vor die Klammer ziehen will.
- Man kann dann jeden Teil der Plus- oder Minuskette dadurch teilen.
- Das gibt den Term in der Klammer.
- Am Ende immer die Probe mit dem Ausmultiplizieren machen.
- Hier steht jetzt eine Schritt-für-Schritt Anleitung:
1. Schritt
- Beispiel: 4x² + 8x
- Diese Pluskette soll umgewandelt werden in die Form:
- Vorfaktor mal Klammer
- Man legt zuerst den Vorfaktor fest.
- Das kann jede Zahl oder jede Variable mit Ausnahme der 0 sein.
- Man könnte die Zahl 4, oder auch die 7 oder das x wählen.
- Wie wählen im Beispiel erst einmal die Zahl 4.
- Damit betrachten wir erst einmal das Verfahren.
2. Schritt
- Man notiert den Vorfaktor mit einem Malpunkt...
- Man öffnet dahinter eine runde Klammer:
- 4x² + 8x = 4·(
3. Schritt
- Man berechnet den Term in der Klammer.
- Man teilt jedes Glied der Plus- oder Minuskette durch den Vorfaktor.
- Das Ergebnis gibt den Term-in-der-Klammer. Am Ende die Klammer schließen:
- 4x² + 8x = 4·(x²+2x) ✔
Rechentipp
- 4x² durch x ist wie der Bruch 4x²/x.
- Der Zähler ist hier wie 4·x·x.
- Beim Bruch sieht man, dass man ...
- ein x kürzen kann, was dann ...
- 4x gibt.
Beispiele
- 4x² + 8x ⭢ 2 ausklammern ⭢ 2·(2x²+4x)
- 4x² + 8x ⭢ 4 ausklammern ⭢ 4·(1x²+2x)
- 4x² + 8x ⭢ 1 ausklammern ⭢ 1·(4x²+8x)
- 4x² + 8x ⭢ x ausklammern ⭢ x·(4x+8)
- 4x² + 8x ⭢ 0,5 ausklammern ⭢ 0,5·(8x²+16x)
- 4x² + 8x ⭢ 0,1 ausklammern ⭢ 0,1·(40x²+80x)
- 4x² + 8x ⭢ -4 ausklammern ⭢ -4·(-1x²-2x)
- 4x² + 8x ⭢ -1 ausklammern ⭢ -1·(-4x²-8x)
