Basiswissen

0 = x²-4x kann man umformen in 0 = x·(x-4). Durch die Umformung ist auf der rechten Seite ein Produkt, das heißt eine Malkette entstanden. Eine solche Umwandlung nennt man eine Faktorisierung. Die einzelnen Teile der Malkette nennt man Faktoren. Aus diesen Faktoren kann man die Lösungen der Gleichung oft direkt ablesen. Das ist hier Schritt-für-Schritt erklärt.

Lösungsidee

Der Grundgedanke dieses Verfahrens ist der Satz vom Nullprodukt:

Eine Malkette wird 0, wenn mindestens einer ihrer Faktoren zu 0 wird.

Beispiel: (x-3)(x+8) ist eine Malkette. Jede der Klammern ist ein Faktor.

Der linke Faktor wird zu 0, wenn das x zu 3 wird.

Der rechte Faktor wird zu 0, wenn das x zu -8 wird.

Die 3 und die -8 machen also den ganzen Term zu 0.

Diesen Gedanken nutzt man zum Lösen von Gleichungen.

Siehe auch Satz vom Nullprodukt ↗

Beispiele

Beispiel I (linear)

Lineare Gleichungen löst man üblicherweise nicht über faktorisieren, es ist aber möglich. Man nutzt dabei den Satz vom Nullprodukt:

0 = 2x-4

2 ausklammern:

0 = 2·(x-2)

Die Klammer wird für x=2 zu Null.

2 ist die Lösunge der Gleichung.

Das Standardverfahren zum Lösen einer linearen Gleichung ist jedoch das Umformen. Das geht meist schnell und zuverlässig. Siehe mehr unter lineare Gleichungen lösen ↗

Beispiel II (quadratisch)

Quadratische Gleichungen kann man immer dann gut über faktorisieren lösen, wenn auf einer Seite nur eine Null steht und auf der anderen Seite kein Term ohne x, also kein sogenanntes absolutes Glied.

0 = 0,25x²-x

x ausklammern:

0 = x(0,25x-1)

Alles wird 0, wenn man für x die 0 einsetzt.

Die Klammer wird zu 0, wenn man für x die 4 einsetzt.

0 und 4 sind die Lösungen der Gleichung.

Alternativ könnte man die Gleichung auch über die pq-Formel oder die sogenannte ABC-Formel lösen. Doch hier ist der Vorteil des Faktorisierens, dass es a) sehr viel schneller geht und b) auch weniger Fehlerquellen bestehen. Siehe mehr dazu unter quadratische Gleichungen über Faktorisieren ↗

Beispiel III (kubisch)

Wie auch bei quadratischen Gleichungen kann man auch kubische Gleichungen (mit x³) dann gut mit Faktorisieren lösen, wenn auf einer Seite nur eine Null steht und auf der anderen Seite kein Glied ohne x, also kein sogenanntes absolutes Glied:

0 = x³-6x²+8x

x ausklammern:

0 = x·(x²-6x+8)

Man sieht sofort, dass x=0 eine Lösung ist.

Für die Klammer verwendet man die pq-Formel ↗

Damit erhält man: x=2 und x=4 als weitere Lösungen

Kubische Gleichungen, also ganzrationale Gleichungen die ein x³ als höchste Potenz von x enthalten, sind oft sehr schwer zu lösen. Kommt jedoch kein absolutes Glied vor, also kein Glied ohne x, ist Faktorsieren ein sehr einfacher Lösungen. Siehe mehr unter kubische Gleichungen über Faktorisieren ↗

Beispiel IV (quartisch)

Quartisch nennt man jede ganzrationale Gleichung bei der x hoch 4 die höchste Potenz von x ist. Eine andere Bezeichnung ist ganzrationale Gleichung vierten Grades. Ähnlich wie kubische Gleichungen können auch quartische Gleichungen sehr schwer zu lösen sein. Und wieder Gleichungen, die man faktorisieren kann eine besonders einfache Ausnahme:

0 = 16x⁴ + 4x³

4x³ ausklammern:

0 = 4x³(x + 1)

Jetzt sieht man:

Alles wird Null, wenn 4x³ Null wird.

Das ist der Fall bei x=0

Alles wird Null, wenn (x + 1) Null wird.

Das ist der Fall bei x = -1

0 und -1 sind die Lösungen der Gleichung.

Andere Lösungsverfahren für quartische Gleichungen sind die Substitution oder auch das intelligente Probieren. Zum Faktorisieren siehe mehr unter quartische Gleichungen über Faktorisieren ↗