Normalform der quadratischen Funktion
f(x) = x² + px + q
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Basiswissen
Standardform der Funktionsgleichung, vor allem für die pq-Formel. Vor dem x² darf keine Zahl und kein Vorzeichen stehen. Die Normalform f(x) = x²+px+q ist eine Sonderfall der allgemeinen Form f(x) = ax²+bx+c.[1]
Gleichung
- f(x) = x² + px + q
Aufbau
- Links steht das y oder f(x), beides meint das Gleiche.
- Dann kommt das Gleichzeichen.
- Dann kommt ein x^2 (meint x hoch zwei).
- Dann kommt ein Plus oder Minus.
- Dann kommt eine Zahl oder gar nichts.
- Dann kommt ein x.
- Dann kommt ein Plus oder Minus.
- Dann kommt eine Zahl (darf auch 0 sein).
Verwendung
- Quadratische Funktionen kann man mit verschiedenen Gleichungstypen angeben.
- Es gibt zum Beispiel die Scheitelpunktform oder auch die faktorisierte Form.
- Die am häufigsten verwendete Form in der Schulmathematik ist die Normalform.
- Hat man eine Form gegeben, dann kann man daraus immer die anderen berechnen.
- Mit der Normalform kann man vor allem gut die Nullstellen berechnen.
- Dazu mehr unter Nullstellen über Normalform ↗
Umwandlungen
Abweichende Definitionen
Seit den 2010er Jahren verwenden Schul-[2] und Hochschullehrbücher[3] zunehmend das Wort Normalform für das was hier (und in anderen Werken) als allgemeine Form bezeichnet wird. So bezeichnet ein Schulbuch für Gymnasien die Form f(x) = ax²+bx+c als Normalform. Die Form f(x) = ax²+bx+c bezeichnen wir hier - in Übereinstimmung mit anderen Lehrbüchern als Allgemeine Form der quadratischen Funktion ↗
Fußnoten
- [1] In demselben Sinn wie in diesem Artikel definiert ein Lehrbuch der Mathematik die Normalform als 0 = x²+px+q und die allgemeine Form als 0 = Ax²+Bx+C. Die Definition für eine Gleichung kann sinngemäß auch auf eine Funktionsgleichung übertragen werden. In: Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band 1. Verlag Harri Deutsch. Thun und Frankfurt am Main. 20. Auflage. 1989. ISBN: 3-87444014. Dort im Kapitel "14. 3 Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten; Begriff; allgemeine Form und Normalform". Seite 365.
- [2] Zunehmend bezeichnen Schulbücher mit Normalform die Form f(x)=ax²+bx+c. In: Lambacher Schweizer. Mathematik für Gymnasien - G9. 10. Nordrhein-Westfalen. Ernst Klett Verlag. 2023. ISBN: 978-3-12-733801-0. Dort die Seite 39. Dagegen spricht, dass normiert oft so viel heißt wie auf die Länge oder den Wert 1 gebracht. Es macht daher Sinn, die Form f(x) = ax²+bx+c als Allgemeine Form und den speziellen Sonderfall mit a=1, nämlich f(x) = x²+px+q als Normalform zu bezeichnen.
- [3] Ebenfalls verwendte ein Lehrbuch für Hochschulen das Wort Normalform sowie auch "Hauptform" für die Schreibweise f(x) = ax²+bx+c. In: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Dort im Kapitel "5.3 Quadratische Funktionen". Seite 194.