Basiswissen

Was wird umgewandelt?

• Es geht um Funktionsgleichungen ...
  

• und zwar von quadratischen Funktionen:
  

• f(x) = x² + px + q
  

Was ist die Normalform?

• f(x) = x² + px +q
  

• Vor dem x² steht kein Faktor (keine Zahl, kein Minuszeichen)
  

• Beispiel: f(x)=x²-12x-32
  

Was ist die Scheitelpunktform?

• Eine andere Art, die quadratische Funktion zu schreiben
  

• Allgemein Scheitelpunktform: f(x)=a(x-d)²+e
  

• Allgemein Scheitelpunktform: f(x)=a(x-d)²+e
  

• Daraus kann man die SPF austellen.
  

• Scheitelpunkt bei (d|e)
  

Wie wandelt man um?

• Es gibt verschiedene Möglichkeiten.
  

• Hier wird die Methode mit der quadratischen Ergänzung erklärt.
  

• Die Normalform ist gegeben, zum Beispiel: f(x) = x² - 12x + 32
  

• Die Scheitelpunktform ist gesucht, z. B.: f(x) = (x-6)² - 4
  

1. Quadratische Ergänzung

• Nimm die Gleichung in Normalform.
  

• Im Beispiel: f(x) = x² - 12x + 32
  

• Der Teil nur mit x (also ohne x²) heißt lineares Glied.
  

• Die Zahl vom linearen Glied nehmen, hier also die -12.
  

• Diese Zahl halbieren, gibt -6 und dann quadrieren, gibt: 36
  

• Das Ergebnis direkt hinter dem linearen Glied ...
  

• einmal addieren und einmal subtrahieren, gibt:
  

• f(x) = x² - 12x + 36 - 36 + 32
  

2. Einklammern

• Jetzt kannst du die ersten drei Glieder weglassen.
  

• Die ersten drei Glieder sind hier: "x²", "-12x" und "+36".
  

• Sie werden ersetzt durch eine Klammer mit Quadrat:
  

• Du schreibst in eine neue Zeile eine Leere Klammer mit ² dahinter.
  

• Links in die Klammer geht immer das x.
  

• Dann kommt das Vorzeichen vom zweiten Glied, hier ein "Minus".
  

• Dann kommt die Wurzel aus dem dritten Glied, hier also 6.
  

• Jetzt schreibst du die restlichen Glieder dahinter:
  

• (x-6)² - 36 + 32
  

3. Zusammenfassen

• Die restlichen Glieder zusammenfassen:
  

• (x-6)² - 4
  

4. Interpretieren

• Eigentlich bist du jetzt fertig.
  

• Du kannst noch den Scheitelpunkt SP ablesen.
  

• Der x-Wert vom SP ist immer die Gegenzahl von der Zahl in der Klammer.
  

• Der y-Wert vom SP ist immer die Zahl nach der Klammer.
  

• Scheitelpunkt SP(6|-4).