Basiswissen

Die einzelnen Zahlen eines Vektor nennt man Vektorkoordinaten^[1] oder - seltener - auch skalare Vektorkomponenten^[1]. Die Koordinaten werden üblicherweise übereinander geschrieben und mit einer runden Klammer eingeschlossen.

Beispiele

die Zahl der x-Koordinate ↗

die Zahl der y-Koordinate ↗

die Zahl der z-Koordinate ↗

Wie schreibt man Vektorkoordinaten?

(2 0 1) ist eine Möglichkeit: Vektoren kann man waagrecht^[1] als Zeilenvektor oder auch senkrecht als Spaltenvektor schreiben. Die Vektorkoordinaten schreibt man dabei immer in runde Klammern und ohne Trennzeichen, also ohne Komma oder senkrechte Striche. Zwischen den Zahlen lässt man einen eindeutig erkennbaren Zwischenraum als unsichtbares Trennzeichen. Siehe auch Vektorschreibweisen ↗

Was bedeuten die Vektorkooordinaten anschaulich?

Ein Vektor in einem 3D-Koordinatensystem hat drei Koordinaten. Diese Koordinaten sagen NICHT, wo im Koordinatensystem der Vektor liegt.

MERKSATZ:

1.0 Die Vektorkooordinaten geben an, wie man vom Anfang des Vektors, dem Vektorfuß bis ans Ende des Vektors, die Vektorspitze oder den Vektorkopf gelangt.

Dabei darf man sich aber nur parallel zu den einzelnen Achsen des Koordinatensystems bewegen. Dazu ein Beispiel: wenn ein Vektor die Koordinaten 2, 0 und 1 hat, dann geht man so vor.

a) Man fängt gedanklich am Anfang des Vektors, am Vektorfuß an. Das ist das Ende ohne die Pfeilspitze. Dort ist man gedanklich.

b) Dann geht man von dort aus so weit in x-Richtung (parallel zur x-Achse), wie es die erste Koordinate angibt. Beim Vektor (2 0 1) geht man also zwei Schritte parallel zur x-Achse.

c) Dann geht man von dort aus so weit in y-Richtung (parallel zur y-Achse), wie es die zweite Koordinate angibt. Beim Vektor (2 0 1) geht man also null Schritte (das heißt gar nicht) parallel zur x-Achse.

d) Dann geht man von dort aus so weit in z-Richtung (parallel zur z-Achse), wie es die dritte Koordinate angibt. Beim Vektor (2 0 1) geht man also einen Schritt parallel zur z-Achse, also nach oben.- e) Am Ende ist man dann immer an der Spitze des Vektors.

Was bedeuten negative Vektorkoordinaten?

Die Koordinatenachsen selbst haben auch Pfeile. Sie zeigen immer in Richtung größer werdender Zahlen also in die positive Richtung. Ist eine Vektorkoordinaten eine positive Zahl, dann bewegt man sich gedanklich in die Richtung des Pfeiles einer Koordinatenachse. Ist die Vektorkoordinaten eine negative Zahl, bewegt man sich entgegengesetzt des Pfeiles.

Was sagen die Vektorkoordinaten nicht aus?

Das ist eine häufige Quelle von Verwirrung für Anfänger in der Vektorrechnung: die Koordinaten geben keinerlei Information darüber wo ein Vektor im Koordinatensystem liegt, nur in welche Richtung er zeigt und wie lang er ist. Will man zusätzlich noch die Lage eines Vektors in einem Koordinatensystem angeben, muss diese Information zusätzlich gegeben werden. Man kann zum Beispiel sagen, dass ein Vektor im Punkt (4|5|6) beginnen soll. Dann hat er eine feste Ortslage. Auch die Aussage, dass ein Vektor ein Ortsvektor ist, legt ihn im Koordinatensystem fest: ein Ortsvektor beginnt immer im Koordinatenursprung im Punkt (0|0|0). Seine Spitze zeigt dann auf einen bestimmten Ort im Koordinatensystem. Siehe dazu auch Ortsvektor ↗

Fußnoten

[1] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Seite 188.

[2] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 2. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-07789-1. Seite 55. Verlag Springer Vieweg. Seite 55. Siehe auch Der Papula ↗