Basiswissen

Vorab

• Am einfachsten geht die Multiplikation über die komplexe Zahl in Exponentialform ↗
  

• Es ist aber auch möglich für die komplexe Zahl in kartesischer Form ↗
  

• Hier die Erklärung für alle drei Formen:
  

Kartesische Form

• Gegeben sind zwei komplexe Zahlen z1 und z2.
  

• Ihr Produkt z1·z2 hat die Form: (a+bi)(c+di).
  

• Zwischen den beiden Klammern steht ein gedachtes Malzeichen.
  

• Solche direkt nebeneinander stehen Klammern heißen Nachbarklammern.
  

• Wie man sie multipliziert steht unter Klammer mal Klammer ↗
  

• Das Ergebnis ist immer: ac+adi+bic+bdii.
  

• (Zwischen den Buchstaben steht immer ein Mal.)
  

• Jetzt ist es wichtig zu wissen, dass i·i=-1 gibt:
  

• Jetzt zusammenfassen: ac + (ad+bc)i - bd
  

• Weiter zusammenfassen: (ac-bd)+(ad+bc)i
  

• ac-bd ist der Realteil des Ergebnisses.
  

• ad+bc ist der Imaginärteil des Ergebnisses.
  

• Man kann als Regel also festhalten:
  

• (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
  

Exponentialform

• Man hat die komplexe Zahl z1 = r1 mal e hoch (i mal phi1)
  

• Man hat die komplexe Zahl z2 = r2 mal e hoch (i mal phi2)
  

• Berechnet werden soll z1 mal z2 in Polarform.
  

• Man rechnet r1 mal r2 und phi1 plus phi2.
  

• Ergebnis ist also: r1·r2 mal e hoch (i phi1+phi2).
  

• Beispiel: 8 mal e hoch (i mal 30 Grad) mal ...
  

• 4 mal e hoch (i mal 10 Grad) gibt ...
  

• 32 mal e hoch (i mal 40 Grad).
  

Polarform

• Man wandelt die Zahlen erst in die Exponentialform um.
  

• Beispiel: r mal [ cos(phi) + i mal sin(phi)] ...
  

• gibt r mal e hoch (i mal phi).
  

• Dann weiter wie oben ...
  

Sonstige Rechenarten

• Komplexe Zahl durch komplexe Zahl ↗
  

• Komplexe Zahl plus komplexe Zahl ↗
  

• Komplexe Zahl minus komplexe Zahl ↗