Basiswissen

Vorab

• Am einfachsten geht die Division über die komplexe Zahl in Exponentialform ↗
  

• Es ist aber auch möglich für die komplexe Zahl in kartesischer Form ↗
  

• Hier die Erklärung für alle drei Formen:
  

Kartesische Form

Anleitung

• Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 und z2.
  

• Berechnet werden soll z1 durch z2.
  

• Man schreibt diese Divisionsaufgabe als Bruch:
  

• Die komplexe Zahl z1 = (a+bi) als Zähler
  

• Die komplexe Zahl z2 = (c+di) als Nenner
  

• Dann bildet man die konjugierte Zahl von z2.
  

• Die komplexe Zahl z2 konjugiert ist: (c-di).
  

• Dann erweitert man den Bruch mit (c-di).
  

• Dann multipliziert man die Zähler.
  

• Und man multipliziert die Nenner.
  

• Im Nenner entsteht dann immer eine reelle Zahl.
  

• Man teilt am Ende den Realteil und Imaginärteil des Zählers ...
  

• durch diese reelle Zahl im Nenner.
  

• Man hat dann das Ergebnis in kartesischer Form.
  

• Beispiel: (4+3i) durch (2+2i) gibt (1,75-0,25i)
  

Beispiele

• (3 + 2i):(1 + i) = 2.5 − 0.5i
  

• (4 − i):(2 + 3i) = (5-14i)/13
  

• (1 + 4i):(3 − 2i) = (-5 + 14i)/13
  

• (5 − 3i):(1 − 2i) = 2,2+1,4i
  

Exponentialform

Anleitung

• Man hat die komplexe Zahl z1 = r1 mal e hoch (i mal phi1)
  

• Man hat die komplexe Zahl z2 = r2 mal e hoch (i mal phi2)
  

• Berechnet werden soll z1 geteilt durch z2 in Polarform.
  

• Man teilt r1 durch r2 und man zieht von phi1 phi2 ab.
  

• Ergebnis ist also: r1/r2 mal e hoch (i phi1-phi2).
  

• Beispiel: 8 mal e hoch (i mal 30 Grad) durch ...
  

• 4 mal e hoch (i mal 10 Grad) gibt ...
  

• 2 mal e hoch (i mal 20 Grad).
  

Beispiele

• 4e^(iπ/3) / 2e^(iπ/6) = 2e^(iπ/6)
  

• 5e^(iπ/2) / e^(iπ/4) = 5e^(iπ/4)
  

• 6e^(iπ) / 3e^(iπ/3) = 2e^(i2π/3)
  

• 8e^(i3π/4) / 4e^(iπ/2) = 2e^(iπ/4)
  

Polarform

• Man wandelt die Zahlen erst in die Exponentialform um.
  

• Beispiel: r mal [ cos(phi) + i mal sin(phi)] ...
  

• gibt r mal e hoch (i mal phi).
  

• Dann weiter wie oben ...