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Kommutativgesetz

Plus und Mal: Reihenfolge egal

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Basiswissen｜ Die vier Grundrechenarten｜ Beispiele｜ Schreibweise｜ Übersicht｜ Gegenbeispiele｜ Physik｜ Fußnoten


Basiswissen


Die einfachste Version des Kommutativgesetzes sagt: bei reinen Plus- oder reinen Malrechnungen darf man alle Zahlen beliebig untereinander vertauschen. Das Endergebnis wird trotzdem immer dasselbe lauten: 4+3 = 3+4 und 2·5 = 5·2. Das Kommutativgesetz, auch Vertauschungsgesetz in seiner allgemeinsten Form gibt, welche Rechnungen kommutativ sind (und welche nicht).



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Das Kommutativgesetz für die vier Grundrechenarten.☛


Die vier Grundrechenarten


Beim Addieren (plus) und beim Multiplzieren (mal) ist die Rechenreihenfolge vom Ergebnis her egal. Man darf die Zahlen der Rechnung beliebig vertauschen. Bei der Division darf man Dividenden beliebig vertauschen, niemals aber einen Dividenden mit einem Divisor. Und bei der Subtraktion darf man Subtrahenden untereinander beliebt vertauschen, niemals aber einen Subtrahenden mit einem Minuenden.

Beispiele


  • 8+5+2 gibt 15. Und 8+2+5 gibt auch 15.
  • 2·3·4 gibt 24. Und 2·4·3 gibt auch 24.

Schreibweise


  • Man kann schreiben: a·b = b·a
  • Und für die Addition: a+b = b+a

Übersicht



Gegenbeispiele



Physik


In der Physik kann man bei mehreren hintereinander ausgeführten Handlungen oder Prozessen danach fragen, ob die Reihenfolge für das Endergebnis wichtig ist oder nicht. Nehmen wir ein klassisches Beispiel aus der Küche:

  • U₁: Man stellt einen leeren Kochtopf auf eine heiße Herdplatte im Betrieb.
  • U₂: Man schüttet 500 ml kaltes Wasser in den Kochtopf.
  • U₃: Man wartet bis die Flüssigkeit von Prozess 2 siedet.
  • U₄: Man schüttet 500 ml kaltes Öl in den Kochtopf.

Gießt man Ol in heißes Wasser, ist das Ergebnis recht undramatisch: das Öl schwimmt oben auf dem Wasser auf und wird dann langsam erhitzt. Aber gießt man Wasser in heißes Öl wird es gefährlich: das Wasser verdampft schlagartig und reißt damit heißes Öl mit gefährlichen Spritzern mit sich. Hier macht die Reihenfolge einen großen Unterschied im Endergebnis:

  • U₁U₂U₃U₄ -> nicht besonders gefährlich

Dieses Beispiel aus dem Alltag zeigt, dass Vorgänge nicht automatisch kommutativ bezüglich des Ergebnisses sind. In der Physik sagt man auch, dass die Vorgänge dann nicht symmetrisch sind. Die Frage, ob Vorgänge oder Operationen in diesem Sinne kommutativ oder symmetrisch sind, spielt vor allem in der Grundlagenphysik, etwa der Quantenphysik, eine große Rolle.[1]

Fußnoten


  • [1] In der Physik kann man die Addition auch als eine Reihenfolge von hintereinander ausgeführten Operationen oder Handlungen deuten. Speziell zur sogenannten Superposition, das heißt der Überlagerung von Zuständen im Sinne der Quantenphysik heißt es: "The usual algebraic axioms of addition are assumed to hold, i. e. the commutative axiom c₁ψ₁ + c₂ψ₂ = c₂ψ₂ + c₁ψ₁ and the associative axiom (c₁ψ₁ + c₂ψ₂) + c₃ψ₃ = c₁ψ₁ + (c₂ψ₂ + c₃ψ₃). The first of these axioms implies that superposition of two states is a symmetrical process between them, which is obvious from the definition of §6, while the second implies the theorem, which was proved in §6, that in successive superpositions the order is unimportant." In: Paul Dirac: The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press. 1930. Siehe auch Symmetrie (Physik) ↗