A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 9 Ω


Kubische Gleichungen über Faktorisieren

Lösungsverfahren

© 2016 - 2026


Basiswissen｜


Basiswissen


0 = 4x³-2x² gibt faktorisiert (ausgeklammert) die Gleichung 0 = 2x²·(2x-1). In dieser Form kann man die Nullstellen über den Satz vom Nullprodukt leicht bestimmen: man betrachtet sich die Teile der Malkette einzeln: 2x² wird 0, wenn man für x die 0 einsetzt und 2x-1 wird 0, wenn man für x die Zahl ½ einsetzt. Die Lösungen der Gleichung sind also 0 und ½. Das ist hier ausführlich erklärt.

Was sind kubische Gleichungen?


  • Bei einer kubischen Gleichungen kommt mindestens einmal x³ vor.
  • Drei ist auch die höchste Hochzahl, die bei dem x vorkommt.
  • Typisches Beispiel: x³+2x²-x-2=0

Was meint "Gleichung lösen"?


  • Das heißt, man soll für x eine Zahl zum Einsetzen finden, mit der die Gleichung aufgeht.
  • Beispiel: x³-x²=0. Setzt man die 1 oder die 0 ein, dann geht die Gleichung auf.
  • Setzt man andere Zahlen als 1 oder 0 ein, dann geht die Gleichung nicht auf.
  • Nur die 1 und die 0 sind Lösungen dieser kubischen Gleichung.

Was meint Faktorisieren?


  • Faktorisieren meint, aus einem Term eine Malkette zu machen.
  • Das häufigste - aber nicht einzige - Verfahren dazu ist das Ausklammern.
  • Beispiel: aus der Summe x²+x kann man x ausklammern und kriegt x(x+1).
  • Der Term x(x+1) ist jetzt eine Malkette, denn nach dem ersten x steht ein gedachtes Malzeichen.
  • Jeder Teil einer Malkette heißt "Faktor", daher der Name "faktorisieren".

Wann soll man faktorisieren?


  • Erst einmal: nicht alle kubischen Gleichungen kann man mit Faktorisieren lösen.
  • Aber wenn es geht, dann geht es meist sehr schnell und bequem.
  • Es geht immer, wenn man die Gleichung in die folgende Form bringen kann:
  • 0=ax³+bx²+cx
  • Links vom Gleichzeichen darf nur eine Null stehen.
  • Rechts vom Gleichzeichen dürfen nur Glieder mit x stehen.
  • Es darf kein Absolutglied (Term ohne x) vorkommen.
  • Siehe auch  [1] nennt man ein absolutes Glied. [2] Dabei gehört das Vorzeichen mit dazu.">👉 absolutes Glied

Wie faktorisiert man?


  • Am besten klammert man der Reihe nach so oft ein x aus, wie möglich.
  • Beispiel: 0=2x³+4x²
  • x ausklammern gibt: 0=x(2x²+4x)
  • Noch ein x ausklammern gibt: 0=x²(2x+4)
  • Weiter ausklammern geht nicht.
  • Das ist die  [1] genannt: Ein Faktor ist ein Teil einer „Malkette“. Hier sind die einzelnen Faktoren das x, die Klammer (x+1) und die Klammer (2x-6). Faktorisierte Formen sind unter anderem wichtig im Zusammenhang mit Gleichungen und Funktionen.">👉 faktorisierte Form

Was hat man vom Faktorisieren?


  • Man kann dann den Satz vom Nullprodukt anwenden.
  • Ihm zufolge gilt: Ist ein Faktor in einer Malkette 0, wird die ganze Kette zu 0.
  • Beispiel: 0= (x-2)(x+2) wird Null, wenn die erste Klammer oder auch die zweite 0 wird.
  • Jetzt muss man nur noch nachsehen, für welche x die einzelnen Faktoren zu Null werden.
  • Im Beispiel hier wären das: x=2 oder x=-2.
  • So sieht man schnell, welche x die Gleichung lösen.

Was hat die pq-Formel damit zu tun?


  • Oft bleibt beim Faktorisieren in einer Klammer ein quadratischer Term übrig.
  • Für welche x dieser Term zu 0 wird, kann man über die pq-Formel herausfinden.
  • Beispiel: 0=x(x²-6x+8)
  • x vor der Klammern gibt Lösung x=0
  • Term in der Klammer gibt über pq-Formel die Lösungen x=2 und x=4.

Tipps


  • Versuche immer erst auszuklammern.
  • Probiere dann, ob eine der binomischen Formeln geht.
  • x=0 ist immer eine Lösung.



Mit Google weiter auf Rhetos suchen





qck/quadratische_gleichungen_ueber_pq-formel.htm" title="Aufgaben (Quickchecks)">qck
qck/faktorisieren.htm" title="Aufgaben (Quickchecks)">qck
qck/kubische_gleichungen_loesen.htm" title="Aufgaben (Quickchecks)">qck
qck/satz_vom_nullprodukt.htm" title="Aufgaben (Quickchecks)">qck
/kubische_gleichungen_ueber_faktorisieren.htm" title="Zu den Aufgaben (Quickchecks) mit Lösungen">

Startseite Impressum
Feedback © 2010-2025 Nachilfe Physik Nachilfe Chemie
Startseite Impressum Feedback © 2010-2025 Nachilfe Physik Nachilfe Chemie