Geometrischer Ort
Definition
Basiswissen
Ein geometrischer Ort ist eine Punktemenge. Die Punkte können dabei alle nach derselben mathematischen Regel oder nach einer sprachlich formulierten Bedingungen erstellt werden. Das ist hier erklärt.
Was ist ein geometrischer Ort?
- Der Begriff gehört in die Geometrie.
- Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten.
- Menge von Punkten meint: irgendeine Anzahl von Punkten zusammen gedacht.
- Die Punkte müssen alle irgendeine gemeinsame Bedingung erfüllen.
- Dann heißen sie geomtrischer Ort.
Abstand als Bedingung
- Eine Bedingung kann ein gleicher Abstand zu einem Punkt sein.
- Beispiel: Alle Punkte mit gleichem Abstand zu einem Mittelpunkt geben einen Kreis.
- Der Kreis ist dann der geometrische Ort.
- Der gleiche Abstand dann die Bedingung.
Gleichung als Bedingung
- Es gibt Gleichungen, deren Lösung aus einem x-y-Wertepaar besteht[8].
- Beispiel: y+x=10. Eine Lösung wäre zum Beispiel x=6 und y=4.
- Die Gleichung hat aber noch viele weitere Lösungen.
- Jede Lösung als Punktkoordinaten interpretiert gibt eine Punktemenge.
- Diese Punktemenge ist dann ein geomtrischer Ort.
- (Für x+y=10 gäbe das eine Gerade Linie.)
- Siehe auch Gleichung mit zwei Unbekannten ↗
Kreislinie als Beispiel
- Wir nehmen ein flaches Stück Papier, denken also "2D".
- Mitten auf dem Papier markieren wir einen Punkt M.
- Jetzt markieren wir alle Punkte, die 4 cm von M entfernt sind.
- Nach und nach würde so eine Kreislinie entstehen.
- Die Kreislinie wäre ein geometrischer Ort[9].
Kugelfläche als Beispiel
- Wir stellen uns einen Punkt M mitten im Raum vor, denken also "3D".
- Jetzt denken wir uns alle Punkte, die genau 40 cm von M entfernt sind.
- Alle zusammengedacht ergäben die Oberfläche einer Kugel.
- Die Kugeloberfläche wäre jetzt der geometrische Ort.
Was meint Ortslinie?
- Auf diesen Seiten hier verwenden wir die Begriffe aber unterschiedlich.
- Denn: ein geometrischer Ort kann auch eine Fläche oder ein Vollkörper sein.
- Dann würde man aber nicht mehr von einer Ortslinie sprechen wollen.
- Das Wort Ortslinie beschränken wir hier auf durchgehende Linienzüge.
- Wir verwenden Ortslinie hier vor allem bei Kurvendiskussionen[7].
- Zum Beispiel: die Kurve auf der alle Hochpunkte einer Schar liegen.
- Mehr dazu unter Ortslinie einer Kurvenschar ↗
Ort und Ortslinie
Die Worte geometrischer Ort und Ortslinie werden zum Teil synonym[1] oder auch als Über-und Unterbegriffe[2] verwendet oder gar nicht erwähnt[3] oder nur mit Hilfe komplexer Funktionen in der Gaußschen Zahlenebene definiert[5][6]. Eine typische Anwendung ist die Ortslinie einer Kurvenschar ↗
Vergleich mit Funktionsgraphen
Jeder Funktionsgraph ist immer auch ein geometrischer Ort. Aber nicht jeder geometrische Ort, und damit auch nicht jede Ortslinie, ist automatisch auch ein Funktiongraph. Der geometrische Ort kann mehrere Punkte mit demselben x-Wert haben, ein Funktiosngraph nicht. Siehe auch Funktionsgraph ↗
Geometrische Örter als skleronome Zwangsbedingung
In der Mechanik betrachtet man unter anderem die Bewegung von Körper. Das klassische Beispiel ist ein hin und her schwingendes Fadenpendel. Dabei wird die Bewegung einer Masse oft von sogenannten Zwangsbedingungen eingeschränkt. Die Pendelmasse eines Fadenpendels etwa kann sich nur entlang einer Kreisbahn um den Aufhängungspunkt bewegen. Die erlaubten Punkte geben als Menge gesehen einen geometrischen Ort mit der Gleichung x²+y²=l². Dabei legt man das xy-Koordinatensystem in den Aufhängungspunkt des Fadens und damt in die Mitte der Kreisbahn der Masse. Das kleine lateinische l steht für die Länge des Fadenpendels. In der Mechanik nennt man eine Zwangsbedingung, in der die Zeit nicht vorkommt skleronom ↗
Fußnoten
- [1] Geometrischer Ort nur als Linie, in: Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band III. Analytische Geometrie, Vektorrechnung und Infinitesimalrechnung. 18. Auflage. Verlag Harri Deutsch · Thun und Frankfurt/Main. 1984. ISBN: 3 87144 403 0. Seite 68 ff.
- [2] Ortslinie oder Ortskurve als Sonderfall des geometrischen Orts: Wikipedia Artikel "Geometrischer Ort". 6. Juni 2021: "In der Elementargeometrie bezeichnet geometrischer Ort (Plural: geometrische Örter) eine Menge von Punkten, die eine bestimmte, gegebene Eigenschaft haben. In der ebenen Geometrie ist dies in der Regel eine Kurve, wofür man auch das Wort Ortskurve oder Ortslinie verwendet."
- [3] Keine Erwähnung von g. Ort und Ortslinie: im Register von: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch.
- [4] Keine Erwähnung von g. Ort: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7
- [5] Ortslinie als Graph einer komplexen Funktion: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 4: Moo bis Sch; 2002; ISBN: 3-8274-0436-3. Seite 125.
- [6] Ortskurve als Graph einer komplexen Funktion: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Seite 701 ff.
- [7] Für Kurvenscharen in: Finale Prüfungstraining. Zentralabitur Mathematik. Nordrhein Westfalen. Georg Westermann Verlag. 2020. ISBN: 978-3-7426-2015-6. Seite 35 ff.
- [8] Geometrischer Ort für Kurven: "Einer Gleichung F(x,y)=0 für die Koordinaten x und y entspricht oft eine Kurve, die die Eigenschaft hat, dass die Koordinaten jedes beliebigen Kurvenpunktes P der Gleichung genügen und dass umgekehrt jeder Punkt, dessen Koordinaten diese Gleichung erfüllen, auf der Kurve liegt. Die Menge dieser Punkte wird auch geometrischer Ort genannt." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort die Seite 200.
- [9] Kreis als geometrischer Ort: "Kreis, geometrischer Ort aller Punkte in der Ebene, die von einem Punkt M dieser Ebene die gleiche Entfernung r haben." In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 3: Imp bis Mon; 2002; ISBN: 3-8274-0435-5. Dort der Artikel "Kreis". Siehe auch Kreis als geometrischer Ort ↗
