Beschleunigte Ladung

Physik

Basiswissen

Als beschleunigte nennt man eine elektrische Ladung, wenn ihr Träger (Elektron, Proton etc.) seine Geschwindigkeit nach dem Betrag oder nach der Richtung ändert. Die weit verbreitete Aussage, dass eine solchermaßen beschleunigte elektrische Ladung immer Energie in Form elektromagnetischer Strahlung aussendet, ist unter Physiker umstritten. Es scheint Ausnahmen von der allgemeinen Regel zu geben.

Was heißt Ladung?

Ladung meint hier eine elektrische Ladung. Eine elektrische Ladung kann entweder positiv oder negativ sein. Beispiele für Teilchen mit einer elektrischen Ladung sind Elektronen, Protonen, Positronen oder Ionen. Siehe auch elektrische Ladung ↗

Was heißt beschleunigt?

Beschleunigt heißt hier, dass ein Teilchen oder ein Körper allgemein, der eine elektrische Ladung trägt, gerade beschleunigt wird. Eine beschleunigte Ladung ist also ein elektrisch geladenes Objekt im Zustand der Beschleunigung. Beschleunigung heißt, dass das Objekte seine Geschwindigkeit verändert. Wird etwas schneller spricht man von Beschleunigung im engeren Sinn. Wird etwas langsamer, spricht man von einer Bremsung, Verzögerung oder von einer negativen Beschleunigung. Zerlegt man eine Bewegung in verschiedene Komponenten, dann kann auch jede Änderung der Richtung als Beschleunigung aufgefasst werden. Mehr dazu steht im Artikel Beschleunigung ↗

Wo kommen beschleunigte Ladungen in der Natur vor?

Im Weltraum ziehen schwere Himmelskörper oft geladene Teilchen stark an, zum Beispiel schwarze Löcher. Auf der Erde ist es das Erdmagnetfeld das zum Beispiel Teilchen des sogenannten Sonnenwindes in ihrer Bewegungsrichtung stark verändert, also beschleunigt. Das erscheint uns im Endeffekt als Polarlicht ↗

Wo kommen beschleunigte Ladungen in der Technik vor?

In der Medizin verwendet man beschleunigte Ladungen unter anderem zur Herstellung diagnostisch wichtiger radioaktiver Substanzen. Auch Röntgenstrahlung beruht als sogenannte Bremsstrahlung letztendlich auf gebremster, also negativ beschleunigter Ladung. Hin und her schwingende elektrische Dipole sind der Grundbaustein aller elektromagnetischen Sender wie zum Beispiel Radiosender. In physikalischen Großforschungsanlagen werden beschleunigte Ladungen vor allem dazu erzeugt, um sie letztendlich aufeinanderprallen zu lassen und die Bruchstücke zu untersuchen. Damit will man durch Zerstrümmerung die Materie in ihre kleinsten Bauteile zerlegen. Siehe mehr dazu im Artikel Teilchenbeschleuniger ↗

Beschleunigte Ladungen mit Strahlung

Verschiedene anerkannte Quellen zur Physik sagen eindeutig und ohne Einschränkung, dass eine beschleunigte oder sich kreisförmig mit gleichem Geschwindigkeitsbetrag bewegende Ladung immer Energie abstrahlt.

ZITAT:

"Gemäß der Maxwellschen Theorie muß ein geladenes Teilchen, das sich im Vakuum auf einer gekrümmten Bahn oder beschleunigt bewegt, elektromagnetische Strahlung emittieren. Lediglich bei geradlinig gleichförmiger Bewegung kann ein geladenes Teilchen ohne Strahlung bleiben."^[3]

Und:

ZITAT:

"Klassisch betrachtet sendet jedes geladene Teilchen auf einer gebogenen Bahn oder welches entlang einer Geraden beschleunigt wird elektromagnetisch Strahlung aus."^[5]

Es gibt viele Beispiele, in denen eine beschleunigte Ladung, auch im Sinne einer Kreisbewegung, Energie abstrahlt. Der Effekt tritt also tatsächlich auf:

In Röntgengeräten als Bremsstrahlung ↗

Bei sehr schnellen Teilchen als Synchrotronstrahlung^{[5] ↗}

Bei Hertzschen Dipolen als Radiowelle ↗

Streuung von Sonnenlicht Himmelsblau ↗

Ich konnte jedoch keine Belege dafür finden, dass auch langsam beschleunigte Elektronen, etwa in einer Elektronenkanone mit Wehnelt-Zylinder, tatsächlich Strahlung aussenden. Übliche Formeln zur Berechnung der Endgeschwindigkeit von beschleunigten Elektronen in einem Linearbeschleuniger oder einer Elektronenkanone gehen davon aus, dass die kinetische Energie am Ende der Beschleunigung gleich dem Produkt q·U aus der Menge beschleunigter Ladung q und der durchlaufenen Spannung U ist. Bei hohen Geschwindigkeiten, ab etwa 10 % der Lichtgeschwindigkeit, wird eine relativistische Korrektur eingebracht. Es ist aber nirgends die Rede davon, dass das beschleunigte Elektron spürbar oder messbar Strahlung aussendet.

Beschleunigte Ladungen ohne Strahlung

Unter bestimmten Bedingungen können verteilte elektrische Ladungen beschleunigt werden, ohne dass dabei elektromagnetische Strahlung erzeugt wird. Dieser Frage ging zum Beispiel im Jahr 1910 Paul Ehrenfest nach, um die Möglichkeit von Elektronen in Bahnen um den Atomkern zu untersuchen.^[31] 1933 untersucht ein George Adolphus Schott die Möglichkeit beschleunigter Ladungen ohne Strahlung.^[32] 1948 wurde eine Möglichkeit gefunden, wie mehrere schwingende und damit beschleunigte Ladungen insgesamt strahlungsfrei bleiben könnten.^[33] 1964 wurden

ZITAT:

"Es ist natürlicherweise verlockend zu vermuten, dass die Existenz der Planck-Konstanten indirekt durch die klassische Theorie der Elektrodynamik ergänzt um die Bedingungen der Strahlungsfreiheit impliziert wird. Solch eine Hypothese wäre gleichbedeutend mit dem Vorschlag einer 'Theorie der Natur' in der alle stabilen Teilchen (oder ihre Aggregate) bloß nicht-strahlende Verteilungen von Ladungen und Strömen sind, und deren mechanische Eigenschaften elektromagnetische Ursachen haben."^[34]

Nachdem 1982 dann eine Gesamtschau des Problems geschrieben wurde^[35], formulierte im Jahr 1986 ein Hermann A. Haus als Ursache der Strahlung nicht die Beschleunigung sondern ganz andere Umstände.^[36] Tatsächlich kann man wohl festhalten, dass zumindest aus theoretischer Sicht Ausnahmen von der allgemeinen Aussage bestehen, dass eine beschleunigte Ladung in jedem Fall und immer strahlt.

Die Feldlinien einer beschleunigten Ladung

Eine anschaulich gut nachvollziebare Veranschaulichung dazu, wie eine beschleunigte Ladung das elektrische Feld um sich herum verändert, nutzt das Denkbilder der Feldlinien.^[38] Der Gedankengang behandelt den nicht-relativistischen Fall. Raumzeit-Veränderungen im Sinne von Albert Einstein werden also nicht berücksichtigt. Es wird dann fest gehalten, dass das Feld für eine geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit genauso aussieht wie das Feld einer ruhenden Ladung. Eine Veränderung des Feldes gibt es nur bei einer beschleunigten Ladung.

Man nehme dann an, dass eine Ladung q für eine lange Zeit in Ruhe im Ursprung [eines Koordiatensystems?] ist. Dann, zur Zeit t=0, soll eine gleichmäßige Kraft F auf die Ladung wirken. Dadurch wird die Ladung q mit einer konstanten Beschleunigung a=v̇ [v̇ ist die Newton-Notation für die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit] für eine kurze Zeit tacc beschleunigt. Am Ende von tacc wird die Krafteinwirkung wieder aufgehoben und die Ladung q bewegt sich dann mit konstanter Geschwindigkeit v₀ weiter.

Während der Beschleunigung hat sich die Ladung um eine Strecke ½·v₀·tacc weiter bewegt. Fragen wir uns nun, wie das elektrische Feld einige Zeit T≫tacc später aussieht. [≫ heißt: sehr viel größer als]. In einer Entfernung von mehr als c·T vom Ursprung, an dem die Ladung anfänglich ruhte, kann sich das Feld noch nicht verändert haben, da c für die höchstmögliche Geschwindigkeit einer Ausbreitung überhaupt steht, die Lichtgeschwindigkeit. Dort sieht das Feld also noch so aus, als gingen alle Feldlinin radial vom Ursprung aus.

An dieser Stelle des Gedankengangs wird auf eine vorherige Überlegung verwiesen, deren Ergebnis es war, dass alle Feldlinien einer Ladung in geradliniger und konstanter Geschwindigkeit instantan und radial von der Ladung ausgehen. Und in einer Entfernung r
Betrachtet man nun Entfernungen zum Ursprung von weniger als c·(T−tacc), so müssen die Feldlinien radial von der Ladung ausgehen. Das sind die Feldlinien aus der Zeit vor dem Beginn der Beschleunigung (T-tacc). Also muss es eine schmale Kugelschale im Bereich von c(T−tacc)
Wie man die genaue Form der Feldlinien dann weiter bestimmt geht über den Rahmen hier hinaus. In der hier als Vorlage benutzten Darstellung von Michael Fowler wird der Gedanke dann weiter entwickelt hin zur Leistung P, die eine mit a beschleunigte Ladung abstrahlt. Man beachte, dass die Betrachung noch immer nicht-relativistisch ist, also umso genauere Ergebnisse liefert, je geringer die auftretenden Geschwindigkeiten sind. Die Formel lautet: P = q·a²/(6·π·ε₀·c²), die sogenannte Larmor-Formel^{[39] ↗}

Probleme mit dem Konzept

Stabile Atome

Würde jede auf einer Kreisbahn sich bewegende Ladung Energie abstrahlen, so müssten nach dieser klassischen Sicht die Elektronen auf ihrer Kreisbahn um den Kern eines Atoms ständig Energie abstrahlen. Dadurch würden sie aber letztendlich in den Atomkern fallen, was sie aber nicht tun. Diese Beobachtung war es unter anderem, die Niels Bohr in der Zeit um den ersten Weltkrieg zu Aufstellung seines Atommodells mit diskreten Bahnen motivierte. Siehe dazu Bohrsches Atommodell ↗

Beschleunigte neutrale Körper

Wäre es korrekt, dass alle beschleunigten Ladungen immer Energie abstrahlen, müssten all die Elektronen und Protonen in einem beschleunigten Zug oder auch bei beschleunigten Atomen in Gänze ständig Energie abstrahlen.^[28]

Relativitätsparadoxon

Die Strahlung müsste verschwinden, wenn Beobachter und elektrische Ladung relativ zueinander ruhen, etwa wenn sie sich beide in einem gleichzeitig begonnenen freien Fall aus gleicher Höhe befinden.^[12] Wenn aber die abgestrahlte Energie in einem weiteren Prozess, etwa der Anregung eines Atoms (excitation to a higher level) geschluckt wird, dann kann der Effekt der Abstrahlung von Energie nicht relativistisch sein.^[13]

Impuls und Gegenkräfte

Elektromagnetischer Strahlung wird ein Impuls zugeschrieben.^[14] Wenn eine beschleunigte Ladung strahlt, und der Impuls in Richtung der Beschleunigung abgegeben wird, müsste das als bremsende reaktive Kraft messbar werden.^[15] Bei sehr langsamen bewegten Ladungen kann elektromagnetische Strahlung aber nur mehr oder minder senkrecht zur Richtung der Bewegung abgegeben werden. Die Impulsbetrachtung über actio gleich reactio versagt dann aber.^[16]

Freier Fall

Fällt ein Elektron unter dem Einfluss der Anziehungskraft der Erde nach unten wird es relativ zu einem stehenden Beobachter, etwa in einem Labor, beschleunigt. Und auch wenn das Elektron fest zur Laboreinrichtung ruht und ein Beobachter frei an ihm vorbei fällt, müsste es strahlen.^[11]

Man kann argumentieren, dass die Relativität nicht von der Bewegung relativ zum Beobachter sondern relativ zum erzeugten elektrischen Feld abhängt: "Das elektrische Feld einer Ladung ist eine unabhängige physikalische Entität. Sobald es im Raum induziert wird, wird sein Verhalten durch die Eigenschaften des Raumes bestimmt. Wenn die Ladung durch eine äußere (nicht-gravitative) Kraft beschleunigt wird, wird das elektrische Feld der Ladung nicht beschleunigt, und es existiert eine relative Beschleunigung zwischen der Ladung und ihrem Feld. [...] das elektrische Feld der Ladung ist gekrümmt. Es gibt eine Spannungskraft zwischen der Ladung und ihrem gekrümmten Feld, und [...] diese Kraft führt zu Strahlung."^[17]

Aber aufgrund von Einsteins Äquivalenz von Gravitation und Beschleunigung^[26] folgt: "Eine frei fallende Ladung in einem gleichförmigen GF [gravitational field ]folgt einer geodätischen Linie in diesem System und ist keiner externen Kraft ausgesetzt. Das elektrische Feld der Ladung folgt ähnlichen Geodäten. Die Ladung und ihr Feld befinden sich im selben Bezugsrahmen, und in diesem Rahmen ist ihre relative Situation ähnlich wie die zwischen einer statischen Ladung und ihrem Feld im freien Raum. Es existiert keine relative Beschleunigung zwischen der Ladung und ihrem elektrischen Feld, und wir schließen daraus, dass eine frei fallende Ladung nicht strahlt."

Ruhend im Labor

Man stelle sich nun ein Elektron vor, dass relativ zu einer Laboreinrichtung in Ruhe ist. Warum sollte es Energie abstrahlen?^[27] Da nun aber das elektrische Feld nicht fest mit dem Elektron verbunden ist, sondern vielmehr eine Eigenschaft des Raumes ist, bewegt sich das elektrische Feld relativ zum Elektron wie in einem freien Fall. Damit kommt es zu einer Relativbewegung zwischen dem Elektron und dem elektrischen Feld, was wiederum zur Abstrahlung von Energie führt.^[20]

ZITAT:

"Man sollte immer dann nach Strahlung Ausschau halten, wenn eine elektrische Ladung relativ zu ihrem elektrischen Feld beschleunigt wird."^[21]

Quantenphysik

Die theoretischen Grundlagen für die Abstrahlung von Energie durch beschleunigte Ladungen wurden kurz vor der Geburt der Quantenphysik gelegt. Man kann daher fragen, ob die Resultate nicht erneute auf den Prüftstand gehören: "

Zweifler

Verschiedene Physiker zweifelten die Allgemeingültigkeit der Aussage an, dass eine beschleunigte Ladung, wozu auch Ladungen auf Kreisbahnen gehören, immer eine Strahlung aussendet. Das Phänomen, so die Skeptiker, sei an weitere zu erfüllende Bedingungen über die bloß Beschleunigung hinaus gebunden.

Richard Feynman

Der Physiker und Nobelpreisträger Richard Feynman schreibt: "... we have inherited a prejudice that an accelerating charge should radiate", und er argumentiert weiter, dass die übliche Formel für die Leistung einer beschleunigten Ladung in Proportionalität zum Quadrat der Beschleunigung uns irre führt. Die Formel, so Feynman, "has led us astray" because it applies only to cyclic or bounded motions."^[2] Liegt die Klärung des Paradoxons in der Beschränkung auf "cyclic" und "bounded"? Feynman erklärt an der zitierten Stelle nicht weiter, was er mit cyclic und bounded meint.

Thayer Watkins

Thayer Watkins war ein US-amerikanischer Wirtschaftswissenschaftler. Von 1974 bis zu seiner Emeriteriung im Jahr 2008 lehrte als Professor an der San Jose Universität in den USA. Watkins hatte Physik studiert, gilt aber nicht als ausgewiesener Physiker.

Watkins hinterfragt die Tragweite des Satzes, dass eine beschleunigte elektrische Ladung Energie in Form elektromagnetischer Strahlung aussendet. Er beginnt seine Kritik mit der Feststellung, dass die entsprechenden physikalischen Grundlagen gegen Ende des 19ten Jahrhunderts auf dem Gedankenmodell des Lichtäthers (luminiferous ether) aufgebaut wurden; ein Modell, das heute keine Bedeutung mehr hat.^[22]

ZITAT:

"Es wäre vielleicht zutreffender zu sagen, dass beschleunigte Ladungen unter einigen Umständen elektromagnetische Strahlung aussenden. Die Frage ist, ob beschleunigte Ladungen unter allen makroskopischen und mikroskopischen Umständen elektromagnetische Strahlung aussenden."^[23]

Watkins zitiert dann ein Physikbuch, den Jackson mit folgender Aussage:

ZITAT:

"If a charge is accelerated but is observed in a reference frame where its velocity is small compared to that of light, then in that coordinate frame the accelerated field reduces to Eₐ = (e/c)[(n×(n×(∂β/∂t))/R]ᵣₑₜ"^[24]

Watkins zweifelt die saubere Herleitung dies Gleichung an. Der Autor, Jackson, habe dazu die sogenannte Delta-Verteilung von Dirac verwendet, die mathematisch die Idee einer Punktladung abbilden kann. Watkin unterstellt Jackson, eine nicht differenzierbare Verteilung wie eine mathematische Funktion abgeleitet zu haben. Damit sind dann auch die daraus gezogenen Schlüsse nicht mehr zwingend.^[25] Im Gegenteil:

ZITAT:

"Die Aussage gilt nur für geladene Punktteilchen und kein solches Teilchen gibt es in der Wirklichkeit. Eine räumlich verteilte Ladung strahlt nicht. Punkt."^[30]

Persönliche Einschätzung

Die in Lehrbüchern der Physik weit verbreitete Aussage, dass eine beschleunigte elektrische Ladung grundsätzlich Energie in Form elektromagnetischer Strahlung aussende führt zu tiefgründigen Paradoxien oder zumindest Scheinparadoxien. Wenn Größen der Physik wie Richard Feynman Zweifel hegen, sollte man auch selbst vorsichtig mit einer kritiklosen Annahme der Aussage sein. Was mir persönlich fehlt, vielleicht finde ich sie nur nicht, sind Veröffentlichungen über Versuche an langsam bewegten Ladungen, etwa Elektronen in einem Fadenstrahlrohr oder langsam beschleunigte Elektronen in einer Elektronenkanone.

Quaestiones

1) Gibt es experimentelle Belege, dass auch langsam beschleunigte Elektronen, zum Beispiel in einem Fadenstrahlrohr oder in einer Elektronenkanone strahlen?

2) Warum strahlen die vielen einzelnen Elektronen und Protonen in einem größeren elektrisch neutralen Körper nicht, wenn er beschleunigt wird? Oder tun sie es doch, aber der Effekt ist vernchlässigbar?

3) Wenn Einstein Ansatz seiner allgemeinen Relativitätstheorie, nämlich die Gleichsetzung der Gravitation mit einer Beschleunigung gilt, strahlen dann ruhende Teilchen in einem Gravitationsfeld?^[9]

4) Ist die Strahlung beschleunigter Ladung ein relativistischer Effekt? Hängt er von Relativbeschleunigung von Ladung zum Beobachter ab?^[11]

Fußnoten

[1] J. Bryant: A Brief History and Review of Accelerators. CERN, Geneva, Switzerland. [History from 1946 to 1980ties]

[2] Richard Feynman: Lectures on Gravitation. Erstmals veröffentlicht im Jahr 2003. https://doi.org/10.1201/9780429502859

[3] Bewegte Ladung im Vakuum: "Gemäß der Maxwellschen Theorie muß ein geladenes Teilchen, das sich im Vakuum auf einer gekrümmten Bahn oder beschleunigt bewegt, elektromagnetische Strahlung emittieren. Lediglich bei geradlinig gleichförmiger Bewegung kann ein geladenes Teilchen ohne Strahlung bleiben." In: Spektrum Lexikon der Mathematik. Abgerufen am 22. März 2023. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/bewegte-ladung-im-vakuum/2259

[4] Wenn eine beschleunigte oder kreisförmig sich um den Atomkern bewegende Ladung tatsächlich Energie abstrahl, könnte ein Atom nicht dauerhaft stabil sein: "Mithin müßte sogar ein Elektron, das sich auf einer kreisförmigen Bahn um den Atomkern bewegt, ständig strahlen, und dann durch den so ausgelösten ständigen Energieverlust (der zur Abnahme seiner Geschwindigkeit und damit zu einer Verringerung der stabilisierenden Zentrifugalkraft führt) irgendwann durch die elektromagnetische Anziehung vom Atomkern eingefangen werden." In: Spektrum Lexikon der Mathematik. Abgerufen am 22. März 2023. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/bewegte-ladung-im-vakuum/2259

[5] Die Übersetzung ins Deutsche stammt von mir. Das englische Original ist: "Classically, any charged particle which moves in a curved path or is accelerated in a straight-line path will emit electromagnetic radiation." Und: "Particularly in the application to circular particle accelerators like synchrotrons, where charged particles are accelerated to very high speeds, the radiation is referred to as synchrotron radiation. This radiated energy is proportional to the fourth power of the particle speed and is inversely proportional to the square of the radius of the path." In: der Artikel "Synchrotron Radiation", auf der Physik-Seite: HyperPhysics is a premier repository of physics content created in 1998 by Associate Professor Emeritus Dr. Carl Rod Nave of the Department of Physics and Astronomy at Georgia State University, Atlanta GA (USA). Abgerufen am 21. Juni 2025. Online: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Particles/synchrotron.html

[6] Extreme Effekte treten rund um Neutronensterne auf: "Charged particles accelerated by electromagnetic fields emit radiation, which must, by the conservation of momentum, exert a recoil on the emitting particle. The force of this recoil, known as radiation reaction, strongly affects the dynamics of ultrarelativistic electrons in intense electromagnetic fields. Such environments are found astrophysically, e.g. in neutron star magnetospheres, and will be created in laser–matter experiments in the next generation of high-intensity laser facilities. " In: Blackburn, T.G. Radiation reaction in electron–beam interactions with high-intensity lasers. Rev. Mod. Plasma Phys. 4, 5 (2020). Online: https://doi.org/10.1007/s41614-020-0042-0

[7] "When any charged particle accelerates, energy is radiated in the form of electromagnetic waves, and the total energy of these waves is found by integrating over coordinate time." In: Good, M.R.R.; Ong, Y.C. Electron as a Tiny Mirror: Radiation from a Worldline with Asymptotic Inertia. Physics 2023, 5, 131-139. Online: https://doi.org/10.3390/physics5010010

[8] Synchrotronstrahlung: "It has been understood since 1897 that accelerating charges must emit electromagnetic radiation. Although first derived in 1904, cyclotron radiation from a single electron orbiting in a magnetic field has never been observed directly. We demonstrate single-electron detection in a novel radiofrequency spectrometer." In: D. M. Asner et al., Single electron detection and spectroscopy via relativistic cyclotron radiation. Online: https://arxiv.org/abs/1408.5362

[9] "The validity of the principle of equivalence (POE) to the case of radiation from an electric charge in a gravitational field (GF) is a long-standing problem. Specifically it is discussed in connection with two cases: (1) Does an electric charge, freely falling in a gravitational field radiate? (2) Does a charge supported at rest in a gravitational field [GF] radiate?" Und als Antwort: "We demand that radiation as a process of energy transfer is a physical event (which is an objective phenomenon), and we come to the conclusion that a freely falling charge does not radiate, and a charge supported at rest in a GF does radiate" In: Amos Harpaz, Noam Soker: Radiation from a Charge in a Gravitational Field. arXiv:physics/9910019, S. 1, 1999. Online: https://arxiv.org/abs/physics/9910019

[10] "A static charge in a gravitational field radiates, as predicted by the principle of equivalence.“ In: Amos Harpaz, Noam Soker: Radiation from a Charge in a Gravitational Field. arXiv:physics/9910019, S. 1, 1999. Online: https://arxiv.org/abs/physics/9910019

[11] Die Strahlung beschleunigter Ladung ist ein relativistischer Effekt: "The electromagnetic radiation is defined as a relative phenomenon, that depends on the relative acceleration between the observer and the charge." Woraus man folgern könnte: "a static observer located in a lab where a charge is supported at rest in a GF will not observe radiation, while a freely falling observer, passing by the same charge, will observe radiation". In: Amos Harpaz, Noam Soker: Radiation from a Charge in a Gravitational Field. arXiv:physics/9910019, S. 1, 1999. Online: https://arxiv.org/abs/physics/9910019

[12] "Similar contradictions arise for the case of a charge supported at rest in a GF [gravitational field], where a static observer does not observe the radiation, and a freely falling observer does." In: Amos Harpaz, Noam Soker: Radiation from a Charge in a Gravitational Field. arXiv:physics/9910019, S. 1, 1999. Online: https://arxiv.org/abs/physics/9910019

[13] Die abgestrahlte Energie kann nicht von der Relativbewegung der Ladung zum Beobachter sein, denn abgestrahlte Energie führt zu objektiven Veränderungen der Welt: "The emmitance of radiation is a physical event that cannot be transformed away by a coordinate transformation". In: Amos Harpaz, Noam Soker: Radiation from a Charge in a Gravitational Field. arXiv:physics/9910019, S. 1, 1999. Online: https://arxiv.org/abs/physics/9910019

[14] Der Impuls von elektromagnetischer Strahlung kann berechnet werden über die Terme h·f:c oder p = h/l. Der Impuls äußert sich unter anderem al sogenannter Strahlungsdruck. Das wird weiter betrachtet im Artikel zum Photonenimpuls ↗

[15] "The question now arises as to how to include the reactive effects of radiation in the equations of motion for a charged particle. We begin with a simple plausibility argument based on conservation of energy for a nonrelativistic charged particle." In: Jackson, J. D. (1975). Classical Electrodynamics (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. Dort im Kapitel "17.2 Radiative Reaction Force from Conservation of Energy" auf Seite 783.

[16] "The work done by the external force to overcome the reaction force, is considered as the source of the energy carried by the radiation. However, when the velocity of the charge is low (v ≪ c), the radiation is emitted mainly in a plane which is perpendicular to the direction of motion. No momentum is imparted to the accelerated charge by the radiation, and no radiation reaction force exists. The source of the energy carried by the radiation should be looked for elsewhere." In: Amos Harpaz, Noam Soker: Radiation from a Charge in a Gravitational Field. arXiv:physics/9910019, S. 1, 1999. Online: https://arxiv.org/abs/physics/9910019

[17] "The electric field of a charge is an independent physical entity. Once it is induced on space, its behaviour is determined by the properties of space. When the charge is accelerated by an external (non-gravitational) force, the electric field of the charge is not accelerated, and a relative acceleration exists between the charge and its field. [...] the electric field of the charge is curved. There is a stress force between the charge and its curved field, and [...] this force gives rise to radiation." In: Amos Harpaz, Noam Soker: Radiation from a Charge in a Gravitational Field. arXiv:physics/9910019, S. 1, 1999. Online: https://arxiv.org/abs/physics/9910019

[18] "A neutral particle and a similar charged particle will fall with the same acceleration. It was shown that the key feature for the creation of radiation is not the relative acceleration between the charge and the observer, but rather the relative acceleration between the charge and its own electric field." In: Amos Harpaz, Noam Soker: Radiation from a Charge in a Gravitational Field. arXiv:physics/9910019, S. 1, 1999. Online: https://arxiv.org/abs/physics/9910019

[19] "A freely falling charge in a uniform GF follows a geodetic line in this system, and it is not subject to any external force. The electric field of the charge follows similar geodesics. The charge and its field both are located in the same frame of reference, and in that frame their relative situation is similar to the one existing between a static charge and its field in a free space. No relative acceleration exists between the charge and its electric field, and we conclude that a freely falling charge does not radiate." In: Amos Harpaz, Noam Soker: Radiation from a Charge in a Gravitational Field. arXiv:physics/9910019, S. 1, 1999. Online: https://arxiv.org/abs/physics/9910019

[20] Zu einer elektrischen Ladung, die fest und unbeweglich relativ zu einem Himmelskörper ist, etwa in einem Labor, heißt es: "The electric field of a charge supported at rest in the lab against GF seems static, but it is not. The electric field, which is an independent physical entity, is not supported with the charge, and it falls freely in the gravitational field. There is a relative acceleration between the charge and its electric field, the field is curved (both in the lab system and in the freely falling system), and a stress force exists between the charge and its field. " Und: "The electric field is detached from the supported charge, and it is not supported against gravity as the charge is. Hence the electric field falls in a free fall, and it has an acceleration g relative to the supported charge." Und dadurch kommt es auch zur Abstrahlung von Energie. Aber: "Who is performing this work or, what is the source of the energy of the radiation?" Und als Antwort: "It comes out that the energy carried away by the radiation is supplied by the GF, that loses this energy." In: Amos Harpaz, Noam Soker: Radiation from a Charge in a Gravitational Field. arXiv:physics/9910019, S. 1, 1999. Online: https://arxiv.org/abs/physics/9910019

[21] Im englischen Original: "[...] one should look for radiation whenever a relative acceleration exists between an electric charge and its electric field." In: Amos Harpaz, Noam Soker: Radiation from a Charge in a Gravitational Field. arXiv:physics/9910019, S. 1, 1999. Online: https://arxiv.org/abs/physics/9910019

[22] "The original analyses by Hendrik Lorentz and Joseph Larmor on the proposition that accelerating or decelerating charges emit electromagnetic radiation are flawed by a dependence upon there being luminiferous ether prevading space. Supposedly the effect arises because of the forces resulting from a charged particle dragging its electric field through the ether. The notion of an ether has been discredited but the proposition continues to be accepted." In: Thayer Watkins: An Analysis of the Argument that Accelerating or Decelerating Charged Particles Emit Electromagnetic Radiation, SJSU Technical Report (2004). Online: https://www.sjsu.edu/faculty/watkins/quantumEM2.htm

[23] Muss die Aussage von der Energieabstrahlung beschleunigter Ladung eingeschränkt werden: "Perhaps it would be more proper to say that it is well known that accelerated charges under some circumstances emit electromagnetic radiation. The issue is whether under all circumstances, macroscopic and microscopic, accelerated charges emit electromagnetic radiation." In: Thayer Watkins: An Analysis of the Argument that Accelerating or Decelerating Charged Particles Emit Electromagnetic Radiation, SJSU Technical Report (2004). Online: https://www.sjsu.edu/faculty/watkins/quantumEM2.htm

[24] "Der Jackson" ist ein bekanntes und anerkanntes Lehrbuch für Physik: Jackson, John David. Classical Electrodynamics. 2nd ed., John Wiley & Sons, 1975.

[25] Watkins zweifelt Jacksons Herleitung mathematisch an: "The analysis that Jackson bases on the Liénard-Wiechert potentials depends intrinsically on the so-called Dirac delta function. This is a "function" that is everywhere zero except at a point where it is infinite. It is a spike. Mathematically the delta function is not a function; it is called a distribution. But Jackson's derivation not only utilizes the delta function but the derivative of the delta function; a positive spike combined immediately with a negative spike. Such esoteric constructions as the delta function and its derivative may not be rigorous mathematics. Thus while Jackson's derivation makes no reference to ether it utilizes something equally dubious, the derivative of the so-called delta function." In: Thayer Watkins: An Analysis of the Argument that Accelerating or Decelerating Charged Particles Emit Electromagnetic Radiation, SJSU Technical Report (2004). Online: https://www.sjsu.edu/faculty/watkins/quantumEM2.htm

[26] "In the Theory of General Relativity there is what is called The Equivalence Principle. This is the assertion that there should be no difference between a body at rest experiencing a uniform gravitational field and a body experiencing uniform acceleration." In: Thayer Watkins: An Analysis of the Argument that Accelerating or Decelerating Charged Particles Emit Electromagnetic Radiation, SJSU Technical Report (2004). Online: https://www.sjsu.edu/faculty/watkins/quantumEM2.htm

[27] "In the Theory of General Relativity there is what is called The Equivalence Principle. This is the assertion that there should be no difference between a body at rest experiencing a uniform gravitational field and a body experiencing uniform acceleration. There is no reason to expect a charged particle resting in a uniform gravitational field to be emitting radiation. Therefore, according to the Equivalence Principle there should be no radiation from a charged particle experiencing uniform acceleration." In: Thayer Watkins: An Analysis of the Argument that Accelerating or Decelerating Charged Particles Emit Electromagnetic Radiation, SJSU Technical Report (2004). Online: https://www.sjsu.edu/faculty/watkins/quantumEM2.htm

[28] Eigentlich müssten auch neurale Objekte bei Beschleunigung strahlen: "here is no provision in the conventional analysis for netting out of positive and negative charges. The result has the emission of radiation depending upon the square of the charge. Therefore the electron and the proton rotating about their center of mass in a hydrogen atom should both be emitting radiation. But also the electrons and protons in a hydrogen molecule subject to the elastic collisions in a gas should be emitting radiation due to their deceleration in one direction and acceleration off in another direction." In: Thayer Watkins: An Analysis of the Argument that Accelerating or Decelerating Charged Particles Emit Electromagnetic Radiation, SJSU Technical Report (2004). Online: https://www.sjsu.edu/faculty/watkins/quantumEM2.htm

[29] Zweifel, ob die Larmor-Gleichung als Grundlage der Strahlung beschleunigter Ladung uneingeschränkt auf die Quantenphysik übertragen werden können, sollen laut Thayer Watkins schon 1933 geäußert worden sein: "It must be added that the new dynamics referred to in Section 620 (Quantum Theory) seems to throw doubt on this formula for the emission of radiation. Many physicists now question whether any emission of radiation is produced by the acceleration of an electron, except under certain special conditions." Watkins zitiert hier James Jeans "The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism" aus dem Jahr 1933.

[30] Die mathematische Grundlagen der Strahlung beschleunigter Ladungen sei die Punktladung. Da es solche Punktladungen in der Wirklichkeit aber nicht geben könne, sie das ganze Konzept fragwürdig: "The proposition holds only for a charged point particle and no such particle exists in the real world. A spatially distributed charge does not radiate. Period." In: Thayer Watkins: An Analysis of the Argument that Accelerating or Decelerating Charged Particles Emit Electromagnetic Radiation, SJSU Technical Report (2004). Online: https://www.sjsu.edu/faculty/watkins/quantumEM2.htm

[31] Paul Ehrenfest: Ungleichförmige Elektrizitätsbewegungen ohne Magnet- und Strahlungsfeld". Physikalische Zeitschrift. 11: 708–709. 1910.

[32] George Adolphus Schott: The Electromagnetic Field of a Moving Uniformly and Rigidly Electrified Sphere and its Radiationless Orbits. Philosophical Magazine. 7. 15.: 752–761. 1933. DOI: doi:10.1080/14786443309462219

[33] Im Jahr 1948 wurde eine Möglichkeit beschrieben, wie schwingende Anordungen beschleunigter Ladungen keine Strahlung aussenden könnten: Bohm, D.; Weinstein, M. (1948): The Self-Oscillations of a Charged Particle. Physical Review. 74 (12): 1789–1798. Bibcode:1948PhRv...74.1789B. doi:10.1103/PhysRev.74.1789.

[34] Mehrere Bedingungen, unter denen beschleunigte Ladungen nicht strahlen, wurden bechrieben in: Goedecke, G. H. (1964): Classically Radiationless Motions and Possible Implications for Quantum Theory. Physical Review. 135 (1B): B281 – B288. Bibcode:1964PhRv..135..281G. doi:10.1103/PhysRev.135.B281. Das führte zu der Spekulation: "Naturally, it is very tempting to hypothesize from this that the existence of Planck's constant is implied by classical electromagnetic theory augmented by the conditions of no radiation. Such a hypothesis would be essentially equivalent to suggesting a 'theory of nature' in which all stable particles (or aggregates) are merely nonradiating charge–current distributions whose mechanical properties are electromagnetic in origin."

[35] Eine rückblickende Gesamtschau der Forschsstandes um 1982 findet man in: Philipp Pearle: Classical Electron Models. In Teplitz, Doris (ed.). Electromagnetism: paths to research. New York: Plenum. pp. 211–295. 1982. DOI: doi:10.1007/978-1-4757-0650-5_7. ISBN: 978-1-4757-0652-9.

[36] "The interpretation of the present derivation is that a charge at constant velocity (‖v̄‖

[37] Eine frühe Darstellng in sowohl mathematischer als auch erklärend sprachlicher Form findet sich in: Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons, Annalen der Physik 315 (1903) S. 324. Dort speziell "§ 9. Ausstrahlung des beschleunigten Elektrons. Grenzen der quasistationären Bewegung."

[38] Im englischen Original: "For the nonrelativistic case, here's a very elementary derivation due to Purcell. We take the electric field from a charge in steady motion to be the same as that from a charge at rest (so we're neglecting the previously discussed relativistic strengthening of the field in the perpendicular-to-motion direction.) Suppose, then, we have a charge q at rest at the origin for a long time, then, at t=0, say, we apply a steady force F so the charge undergoes constant acceleration a=v̇ for a very short time tacc up to a speed v₀=a·tacc at which point the force cuts out, and the charge from then on moves at this steady speed. During the acceleration, it will have moved a distance ½v₀·tacc. Now consider what the electric field must look like at a much later time T≫tacc. At distances greater than c·T from the original at rest position of the charge, the subsequent movement of the charge cannot have changed anything, so the electric field out there must still be radial pointing from the origin. But for distances less than c(T−tacc), the radial field lines must emanate from the moving charge. (Recall that we've already established that the field lines from a charge in steady motion are radial from the instantaneous position of the charge: and at distances rhttps://galileoandeinstein.phys.virginia.edu/Elec_Mag/2022_Lectures/EM_66_Radiation_Accelerating_Charge.html

[39] Die Leistung P die eine gleichmäßig beschleunigte (Punkt)Ladung abstrahlt ist gegeben über: P = q·a²/(6·π·ε₀·c²). Siehe mehr dazu unter Larmor-Formel ↗