Basiswissen

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit blonden Haaren blaue Augen hat ist höher, als die Warscheinlichkeit, dass jemand mit schwarzen Haaren blaue Augen hat: die Haarfarbe bedingt (beeinflusst) die Wahrscheinlichkeit für Blauäugigkeit. Die Augenfarbe Blau ist damit eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Dieser Begriff wird in der Stochastik rechnerisch gefasst und hier kurz erklärt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Man zieht zwei Mal ohne Zurücklegen: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen, wenn man nur die Fälle betrachtet, in denen zuvor eine gelbe Kugel gezogen wurde?☛

Definition für zweistufige Zufallsversuchen

Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird meist am Beispiel von zweistufigen Zufallsversuchen eingeführt. Das ist der einfachste Fall und für ein Verständnis, was bedingte Wahrscheinlichkeit eigentlich bedeutet, der beste Anfang.

Definition

Bei zweistufigen Zufallsexperimenten macht man in der ersten Stufe einen und in der zweiten Stufe einen zweiten Versuch.

Wenn die Wahrscheinlichkeiten des zweiten Versuches vom Ausgang des ersten Versuches abhängen, dann spricht man von einer bedingten Wahrscheinlichkeit.

Man sagt: der Ausgang des ersten Versuches bedingt den Ausgang des zweiten. Bedingen meint hier soviel wie: beeinflussen, verändern, vorhersagen, bestimmen oder so ähnlich.

Schreib- und Sprechweisen für bedingte Wahrscheinlichkeiten

P(A|B) heißt: die Wahrscheinlichkeit von A, wenn man nur Fälle mit B betrachtet.

P(A|B) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Ereignis B bereits eingetreten ist.^[1]

P(A|B) Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.^[2]

A könnte sein: man überlebt den Untergang eines Schiffes.

B könnte sein: man ist ein Mann.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit als Mann zu überleben kann man dann auf verschiedene letztendlich gleichbedeutende Weisen ausdrücken:

P(A|B) ist: die Wahrscheinlichkeit zu überleben, wenn bereits klar ist, dass man ein Mann ist.

P(A|B) ist: die Wahrscheinlichkeit zu überleben, unter der Bedingung, dass man ein Mann ist.

P(A|B) ist: die Wahrscheinlichkeit zu überleben, wenn nur Männer betrachtet werden.

Siehe dazu auch die Titanicliste ↗

Haarfarbe als Beispiel für eine bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Haarfarbe und die Anzahl der Kopfhaare hängen bei Menschen voneinander statistisch ab. Man kann sagen, dass die Haarfarbe die Anzahl der Kopfhaare beeinflusst oder bedingt: Blonde durchschnittlich 150.000, Schwarzhaarige 110.000, Brünette 100.000 und Rothaarige 75.000 Kopfhaare. Lies auch unter Haar ↗

Bedingte Wahrscheinlichkeit im statistischen Urnenmodell

Man hat eine Urne mit zwei grünen und einer gelben Kugel.

Man zieht zweimal, aber ohne zurücklegen.

Betrachtet wird die Wahrscheinlichkeit P, eine gelbe Kugel zu ziehen.

Sie ist beim ersten Ziehen immer 1/3.

Beim zweiten Ziehen aber kommt es darauf an.

Kam beim ersten Zug gelb, ist P beim zweiten Zug 0.

Kam beim ersten Zug grün, ist P biem zweiten Zug 0,5.

Was beim ersten Zug herauskommt, bedingt den Ausgang des zweiten Zuges.

"Bedingen" meint hier soviel wie "beeinflussen".

Siehe auch bedingen ↗

Gegenbeispiel: keine bedingte Wahrscheinlichkeit

Man hat die gleiche Urne wie oben, also zweimal grün, einmal gelb.

Man zieht jetzt aber mit zurücklegen.

Die Wahrscheinlichkeit P Gelb zu ziehen ist ist immer gleich.

Sie ist beim ersten Zug 1/3 und auch beim zweiten Zug.

P ist beim zweiten Zug unbedingt vom ersten.

Der erste Zug beeinflusst P beim zweiten nicht.

Mehr unter unbedingte Wahrscheinlichkeit ↗

Versuche dazu

Einfache Praxis-Versuche, die man am Tisch in einer halben Stunde bis 60 Minuten durchführen kann machen anschaulich greifbar, was eine bedingte Wahrscheinlichkeit praktisch bedeutet. Siehe dazu unter Bayes-Schüssel-Versuche ↗

Synonyme

Konditionale Wahrscheinlichkeit ↗

Bedingte Wahrscheinlichkeit ↗

Fußnoten

[1] "P(B|A): Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B unter der Bedingung, dass das ereignis A bereits eingetreten ist" In: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 3. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-11923-2. Verlag Springer Vieweg. Dort im Kapitel "3.5 Multiplikationssatz" auf Seite 295.

[2] "P(B|A) [...] bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A)" In: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 3. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-11923-2. Verlag Springer Vieweg. Dort im Kapitel "3.5 Multiplikationssatz" auf Seite 295.