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Beschleunigungsspannung


½·m·v² = q·U


Basiswissen


Wird ein Elektron - oder irgendein anderes geladenes Teilchen - von einem Punkt A bis hin zu einem Punkt B durch ein elektrisches Feld beschleunigt, dann nennt man die elektrische Spannung zwischen A und B die Beschleunigungsspannung U.

1.0 Mit der Beschleunigungsspannung kann man die Geschwindigkeit und die kinetische Energie beschleunigter, geladener Teilchen berechnen.

Formeln zur Beschleunigungsspannung, nichtrelativistisch====

Mit den folgenden Formeln kann man die erreichte Endgeschwindigkeit von Elektronen bei einer Beschleunigungsspannung von bis zu 1000 Volt einigermaßen gut abschätzen.

  • E = q·U
  • Ekin = ½mv²
  • ½·m·v² = q·U
  • U = ½·m·v²:q
  • v = √(2·q·U:m)

Legende



2.0 Wie schnell eine beschleunigte Ladung am Ende ist, hängt bei gegebener Masse nicht davon ab, wie lange die Beschleunigung dauert oder wie groß die Beschleunigsstrecke ist. Die Endgeschwindigkeit hängt nur von der Spannung zwischen dem Anfangs- und dem Endpunkt der Beschleunigung ab.

Relativistisch oder nichtrelativistisch für Elektronen?


Die Formeln oben gelten nur für eine nichtrelativistische Beschleunigung (v≪c): bei sehr hohen Geschwindigkeiten treten besondere Effekte im Zusammenhang mit der Einsteinschen Relativitätstheorie auf. Je schneller ein Elektron ist, desto weniger passen die Formeln oben.

3.0 Die Formeln oben sind umso genauer, je geringer die Beschleunigungsspannung ist.

Ab einer Geschwindigkeit von rund 10 % der Lichtgeschwindigkeit werden die Abweichungen so groß, dass sie für die meisten Anwendungsfällen nicht mehr vernachslässigt werden sollten. Unterhalb von 10 % der Lichtgeschwindigkeit, kurz oft 0,1c geschrieben, kann man die Formeln oben verwenden (nichtrelativistisch). Diese Geschwindigkeit erreicht man mit einer Beschleunigungsspannug von etwa 2,7 Kilovolt (kV) oder 2700 Volt. Bei mehr als 2,7 kV überschreitet ein Elektron 10 % der Lichtgeschwindigkeit, das sind rund 30 Millionen m/s. Siehe dazu den Artikel Beschleunigungsspannung (relativistisch) ↗

Gelten die Formeln nur für Elektronen?


Nein, sie gelten für alle elektrisch geladenen Teilchen und Körper. Das können Elektronen, Positronen, Protonen, Ionen oder auch elektrisch geladene Tennisbälle oder Salzkörner sein. Das einzige was sich gegenüber Elektronen dann ändert ist die einzusetzende Masse m:


Endgeschwindigkeiten von Elektronen, nichtrelativistisch


Die folgenden beispielhaften Werte gelten für Elektronen. Bei Teilchen mit einer anderen Masse ergeben sich andere Werte: je schwerer ein Teilchen (bei gleichung elektrischer Ladung), desto geringer ist die erreichte Endgeschwindigkeit v.


Ab einer Geschwindigkeit von etwa 10 % von c weichen die hier abgeschätzten Werte so stark von der Wirklichkeit ab, dass man die Formeln insbesondere nur bis zu Beschleunigungsspannungen von etwa 1000 Volt benutzt[4]. Bei höheren Beschleunigungsspannungen verwendet man die etwas aufwändigere Formel für die relativistische Betrachtung.

Formel für die Beschleunigungsspannung, relativistisch



Legende



Beispiele für Beschleunigungsspannungen



Fußnoten




Zwischen Kathode (-) und Anode (+) wird ein Elektron beschleunigt. Gunter Heim