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Wurzel

Definition

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Einführung｜ Definition der Quadratwurzel｜ Beispiele｜ √4｜ √0｜ √(-4)｜ Höhere Mathematik｜ Wurzelarten｜ Komplexe Wurzel｜ Wurzeln von Gleichungen｜ Anwendungen｜ Historische Definitionen｜ Fußnoten


Einführung


Die Wurzel von der Zahl 16 ist die 4. Denn: 4 mal 4 gibt wieder 16. Man schreibt kurz: √16=4. Die Wurzel von irgendeiner Zahl z ist diejenige nicht negative Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder die Zahl ergibt. Diese Definition gilt für die umgangssprachlich gesprochen „normale“ Wurzel, die man auch Quadratwurzel nennt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Das Wurzelzeichen und die Zahl darunter, der Radikand: die Wurzel mit sich selbst malgenommen gibt wieder den Radikanden.☛


Definition der Quadratwurzel


Spricht man von "der Wurzel", dann meint man damit stillschweigend die sogenannte Quadratwurzel.[9] Umgangssprachlich wäre das die "normale" Wurzel. Diese Wurzel ist nur für nicht negative Zahlen definiert. Nicht negativ sind alle positiven Zahlen und die Zahl 0:

DEFINITION Die Quadratwurzel, oder einfach "die Wurzel", seltener auch Radix genannt, einer nicht negativen Zahl z ist die nicht negative Zahl r, die mit sich selbst malgenommen wieder z ergibt.

Folgen

  • Als Quadratwurzel gelten nur positive Zahlen und die Zahl 0.[1]
  • Eine negative Zahl ist niemals eine Quadratwurzel.[2]
  • Eine negative Zahl kann auch keine Wurzel haben.[2]

Fachworte


Beispiele


√4


  • √4 = 2 ✓
  • Denn: 2·2=4
  • Ist -2 auch eine Wurzel der 4?
  • Weil: -2 mal -2 gibt ja auch 4.
  • Aber: -2 keine Wurzel der 4.
  • Denn: -2 ist negativ.

√0


  • √0 = 0 ✓
  • Denn: 0·0=0 ✓

√(-4)


  • √(-4) ∉ ℝ
  • Man liest: die Wurzel der -4 ist kein Element der reellen Zahlen.
  • Anders gesagt: es gibt keine reelle Zahl für die Wurzel von -4.
  • Oder: denkt man nur mit reellen Zahlen, ist die Wurzel von -4 nicht definiert.

Neben dieser sogenannten Quadratwurzel gibt es noch weitere Wurzelarten. Spricht man nur von einerWurzel meint man damit die sogenannte Quadratwurze, in der Alltagssprache ist das die „normale“ Wurzel. Diese werden hier kurz vorgestellt.

Höhere Mathematik


Neben der "einfachen", "normalen" Quadratwurzel gibt es in der Höheren Mathematik viele weitere Bedeutungen des Wortes Wurzel. Was dann als Wurzel gilt oder nicht hängt davon ab, in welchem Zahlenbereich man denkt und welche Wurzel genau man meint.

Wurzelarten



Komplexe Wurzel


4+2i ist eine sogenannte komplexe Zahl. Anschaulich gesprochen, dürfen komplexe Zahlen auch abseits der Zahlengeraden liegen. Sie sind ein Punkt in einer sogenannten Zahlenebene. Denkt man mit komplexen Zahlen, dürfen Wurzeln a) selbst negativ sein und b) haben auch negative Zahlen eine Wurzel. Denkt man mit komplexen Zahlen, so hat die Zahl -9 die Wurzel 3i. Es gilt: 3i·3i=-9. Siehe mehr unter komplexe Wurzel ↗

Wurzeln von Gleichungen


Manchmal werden auch die Lösungen von Gleichungen als Wurzel bezeichnet.[10] Bei dieser Handhabung wird oft die Forderung ignoriert, dass eine Quadratwurzel nur eine positive Zahl sein darf:[3]

  • "Die Gleichung x²=4 hat die zwei reellen Wurzeln x₁₂ = ±2"

Bei diesem Zitat aus einem anerkannten Nachschlagewerk der angewandten Mathematik wird auch die Lösung -2 als Wurzel bezeichnet. Spielt es eine Rolle, ob die man eine negative Zahl als Wurzel erlauben möchte oder nicht, so sollte man beim Lesen im Einzelfall nachprüfen, wie die entsprechenden Autoren die Wurzel definieren. Speziell zur Idee, dass auch die Lösung einer quadratischen Gleichung als Wurzel bezeichnet wird, siehe die Seite zur Plusminus-Wurzel ↗

Anwendungen



Historische Definitionen


Es lohnt sich oft, sich mit der historischen Entwicklung von mathematischen Begriffen zu beschäftigen. Man erkennt dann oft Aspekte und behandelte Probleme, die in später entstandenen Lehrwerken stillschweigend übergangen werden. Hier sind einige kommentierte Beispiele zu Definition der mathematischen Wurzel, vorwiegend aus dem 19ten Jahrhundert.


ZITAT:

1801: "In der Arithmetik ist die Wurzel eine Größe, welche, wenn sie einige Mahl mit sich selbst multipliciret wird, eine höhere Potenz hervor bringt."[4]


Bei dieser Definition von 1801 wäre jede Zahl, die man mehrere Male mit sich selbst malnimmt, eine Wurzel. Eine Beschränkung auf positive Zahlen fehlt. Die -2 wäre dieser Definition zufolge also auch eine Wurzel von 16. Eine in dem Artikel von 1801 nicht näher besprochene Folge wäre, dass die -2 und auch die 2 beide eine Wurzel der höheren Potenz 16 wären. Diese Definition findet sich auch noch vierzig Jahre später.


ZITAT:

1841: "In der Mathematik wird unter Wurzel eine Größe verstanden, aus welcher durch Multipliciren mit sich selbst eine Potenz gebildet worden ist oder gebildet werden soll. So vielmal die Multiplication stattfindet, die sovielte Potenz entsteht, und 5 ist z.B. die zweite oder Quadratwurzel von 25, denn 5·5 = 25; von 125 ist 5 die dritte (5·5·5 = 125) oder Cubikwurzel, von 625 die vierte (5·5·5·5 = 625) oder Biquadratwurzel."[5]


Diese Definition von 1841 enthält einen lehrreichen Fehler, der auch noch vielen Lernenden im dritten Jahrtausend unterläuft: "So vielmal die Multiplication stattfindet, die sovielte Potenz entsteht" ist falsch. Denn 5·5·5 gibt zwar die dritte Potenz von 5, aber man multipliziert die 5 nicht dreimal sondern nur zweimal. Um das einzusehen, muss man in dem Term 5·5·5 nur die Anzahl der Malpunkte zählen. Wie es korrekt lauten müsste zeigen spätere Definitionen weiter unten (etwa von 1909 und 1911).


ZITAT:

1857: "Wurzel, in der Mathematik eine Größe, die mehrmals mit sich selbst multiplicirt eine bestimmte Potenz gibt; so ist z.B. 2 die W. von 4, 8 etc., indem 2 ☓ 2 = 4, 2 ☓ 2 ☓ 2 = 8, u. man sagt, 2 sei die zweite W. od. die Quadrat-W. von 4, und die dritte W. od. die Kubik-W. von 8."[7]



ZITAT:

1865: "Die Wurzel ist "die irgendvielte W. aus einer gegebenen Zahl bezeichnet diejenige Zahl, deren ebensovielte Potenz gleich der gegebenen Zahl ist. So ist 9 die 2. W. aus 81, weil 9, mit 2 protenzirt (9 . 9) 81 gibt; eben so 7 die 3. W. aus 343, weil die 3. Potenz von 7 (7 . 7 . 7) = 343 ist."[8]


Die folgenden zwei Definitionen bringen zum ersten Mal die Anzahl der Faktoren in einer Malkette ins Spiel. Die Anzahl der gleichen Faktoren einer Malkette (die auch nur diese Faktoren enthält) ist dann gleich dem sogenannten Wurzelexponenten, der Zahl, die angibt, die wievielte Wurzel man meint:


ZITAT:

1909: "Wurzel, in der Mathematik die Zahl, die man durch Zerlegung einer gegebenen Zahl, des Radikanden, in mehrere gleich große Faktoren erhält; die Anzahl dieser Faktoren heißt der Wurzelexponent, und nach ihr wird die W. benannt. Es ist z. B. 8 die zweite W. oder Quadratwurzel aus 64 (8 = √64), weil 8.8 = 64 ist; 5 die dritte W. oder Kubikwurzel aus 125 (5 = ∛125), weil 5. 5. 5 = 125 ist".[11]



ZITAT:

1911: "In der Mathematik heißt W. die Zahl, welche man durch Zerlegung einer Zahl in mehrere gleiche Faktoren erhält, je nach der Anzahl der Faktoren 2. (Quadrat-W.), 3. (Kubik-W.), 4., 5. W. etc."[12]


Fußnoten


  • [2] Wurzeln sind nur positive Zahlen: "… als n-te Wurzel aus a [wird eine] die positive Zahl bezeichnet. Man spricht bei der Berechnung dieser Zahl vom Radizieren oder Wurzelziehen und nennt a den Radikanden und n den Wurzelexponenten. Die 2. und die 3. Wurzel werden auch Quadratwurzel bzw. Kubikwurzel genannt." Bei dieser Definition legt das Lexikon ausdrücklich fest, dass der Radikand a größer als 0 und reell ist. Für den Wurzelexponenten n wird ausdrücklich festgelegt, dass es größer als 0 und ganzzahlig ist. In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort das Kapitel "1.1.4.2. Wurzel." Seite 8.
  • [3] Im Zusammenhang mit Gleichungen aber gilt, im Widerspruch zur Forderung, dass Wurzeln nur positive Zahlen sind, dass die Wurzeln auch negativ sein dürfen: "Die Gleichung x²=4 hat die zwei reellen Wurzeln x₁₂ = ±2" Und: "Die Gleichung x³=-8 hat die drei Wurzeln x₁=1+i√3, x₂=-2 und x₃=1-i√3." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort das Kapitel "1.1.4.2. Wurzel." Seite 9.
  • [4] 1801: "In der Arithmetik ist die Wurzel eine Größe, welche, wenn sie einige Mahl mit sich selbst multipliciret wird, eine höhere Potenz hervor bringt." In: Adelung, Grammatisch-kritisches Wörterbuch der Hochdeutschen Mundart, Band 4. Leipzig 1801, S. 1634-1635. Online: http://www.zeno.org/nid/20000542997
  • [5] "In der Mathematik wird unter Wurzel eine Größe verstanden, aus welcher durch Multipliciren mit sich selbst eine Potenz gebildet worden ist oder gebildet werden soll. So vielmal die Multiplication stattfindet, die sovielte Potenz entsteht, und 5 ist z.B. die zweite oder Quadratwurzel von 25, denn 5 · = 25; von 125 ist 5 die dritte (5·5·5 = 125) oder Cubikwurzel, von 625 die vierte (5·5·5·5 = 625) oder Biquadratwurzel." In: Brockhaus Bilder-Conversations-Lexikon, Band 4. Leipzig 1841., S. 766. Online: http://www.zeno.org/nid/20000877565
  • [6] "Das Auffinden einer bestimmten Wurzel aus einer gegebenen Zahl oder Größe heißt das Ausziehen der Wurzel. Daß dies geschehen soll, wird durch Vorsetzung des Wurzelzeichens √ angedeutet, welches ursprünglich ein lat. r (von radix die Wurzel) war. So heißt ∛125, daß die Cubikwurzel aus 125 zu suchen ist, oder wie man auch sagt, daß der Radicant 125 durch 3, den Wurzelexponenten, radicirt werden soll." In: Brockhaus Bilder-Conversations-Lexikon, Band 4. Leipzig 1841., S. 766. Online: http://www.zeno.org/nid/20000877565
  • [7] "Wurzel, in der Mathematik eine Größe, die mehrmals mit sich selbst multiplicirt eine bestimmte Potenz gibt; so ist z. B. 2 die W. von 4, 8 etc., indem 2 ☓ 2 = 4, 2 ☓ 2 ☓ 2 = 8, u. man sagt, 2 sei die zweite W. od. die Quadrat-W. von 4, und die dritte W. od. die Kubik-W. von 8." In: Herders Conversations-Lexikon. Freiburg im Breisgau 1857, Band 5, S. 755. Online: http://www.zeno.org/nid/20003570398
  • [8] Die Wurzel ist "die irgendvielte W. aus einer gegebenen Zahl bezeichnet diejenige Zahl, deren ebensovielte Potenz gleich der gegebenen Zahl ist. So ist 9 die 2. W. aus 81, weil 9, mit 2 protenzirt (9 . 9) 81 gibt; eben so 7 die 3. W. aus 343, weil die 3. Potenz von 7 (7 . 7 . 7) = 343 ist." Und noch sehr ausführlich weiter so mit Sätzen zur Wurzelrechnung, zu Potenzengesetzen und zum Logarithmus. In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 19. Altenburg 1865, S. 436-439. Online: http://www.zeno.org/nid/20011311193
  • [9] Die 2., 3. u. 4 W. nennt man auch bezüglich die Quadrat-, Cubik- u. Biquadratwurzel. Daß die mte W. aus a zu suchen od. zu ziehen ist, deutet man durch Wurzel an, u. sagt auch: a sei durch m zu radiciren. Das Zeichen (Wurzelzeichen, Radicalzeichen) √ ist ursprünglich ein lateinisches r (radix). m wird der Wurzelexponent, a aber der Radicand genannt. Die mit dem Wurzelzeichen behafteten Größen nennt man auch Wurzelgrößen. Wird der Exponent weggelassen, so versteht man darunter stillschweigend die Quadratwurzel". Und noch sehr ausführlich weiter so mit Sätzen zur Wurzelrechnung, zu Potenzengesetzen und zum Logarithmus. In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 19. Altenburg 1865, S. 436-439. Online: http://www.zeno.org/nid/20011311193
  • [10] Wurzel als Lösung einer Gleichung: "Eine Gleichung mit einer Unbekannten x läßt sich immer auf die Form f(x) = 0 bringen, wo die linke Seite eine Funktion von x bezeichnet. Jeder ihr genügende Wert von x heißt eine Wurzel der Gleichung." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 4 Stuttgart, Leipzig 1906., S. 562-566. Online: http://www.zeno.org/nid/20006033067
  • [11] "Wurzel, in der Mathematik die Zahl, die man durch Zerlegung einer gegebenen Zahl, des Radikanden, in mehrere gleich große Faktoren erhält; die Anzahl dieser Faktoren heißt der Wurzelexponent, und nach ihr wird die W. benannt. Es ist z. B. 8 die zweite W. oder Quadratwurzel aus 64 (8 = √64), weil 8.8 = 64 ist; 5 die dritte W. oder Kubikwurzel aus 125 (5 = ∛125), weil 5. 5. 5 = 125 ist; 6 die vierte W. aus 1296 (6 = ∜1296), weil 6.6.6.6 = 1296 ist; 2 die fünfte W. aus 32 (2 = 5√32), weil 2.2.2.2.2 = 32 ist, etc. Das Wurzelzeichen √, bei längern Zahlen oben noch durch einen wagerechten Strich verlängert, ist aus dem Anfangsbuchstaben r des lateinischen Wortes radix = W. entstanden; die Wurzelexponenten werden ihm in der angegebenen Weise beigeschrieben, doch wird der Exponent 2 gewöhnlich weggelassen." Und noch sehr ausführlich weiter so. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 20. Leipzig 1909, S. 796-797. Online: http://www.zeno.org/nid/20007709129
  • [12] 1911: "In der Mathematik heißt W. die Zahl, welche man durch Zerlegung einer Zahl in mehrere gleiche Faktoren erhält, je nach der Anzahl der Faktoren 2. (Quadrat-W.), 3. (Kubik-W.), 4., 5. W. etc. In der Sprachwissenschaft ist W. die gemeinschaftliche Grundform, aus welcher verwandte Wörter hervorgingen." In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 2. Leipzig 1911., S. 1005. Online: http://www.zeno.org/nid/20001690442