Winkel zwischen Vektoren
Definition
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Basiswissen
Zwei Vektoren a und b sind gegeben. Gesucht ist der Winkel, den sie an einem ihrer gedachten Schnittpunkte haben. Zur Berechnung verwendet man das Skalarprodukt der zwei Vektoren, ihre Beträge und den sogenannten Arkuscosinus. Das ist hier erklärt.
Definition von Winkel zwischen Vektoren
- Man hat zwei Vektoren a und b.
- Jeder Vektor hat ein Ende (Vektorfuß) hinten und eine Spitze vorne (wo die Pfeilspitze ist).
- Man legt die Vektoren gedanklich mit ihren Enden aneinander.
- Die beiden Vektoren bilden dann die Schenkel eines Winkels.
- Sie bilden zusammen einen kleineren Winkel (180° oder weniger).
- Die zwei Vektoren bilden so aber auch einen größeren Winkel (180° oder mehr).
- Ist nichts anderes gesagt, ist immer der kleinere der beiden Winkel gemeint.
- Mehr dazu was ein Winkel ist steht im Artikel 👉 Winkel
Hilfreiches Vorwissen
Man versteht die folgende Erklärung besser, wenn man weiß, dass a) die Länge eines Vektors gleich ihrem Betrag ist, dass b) man diese Länge dadurch ausrechnet, indem man die Vektorkoordinaten einzeln quadriert, diese Quadrate aufaddiert und aus der Summe die Wurzel zieht, und c) wie man das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnet. Also:
Berechnung
Man bildet das Skalarprodukt der beiden gegebenen oder bekannten Vektoren. Das Ergebnis des Skalarproduktes ist immer eine reine Zahl. Diese Zahl dividiert man dann durch das Produkt der zwei Vektorbeträge. Die Vektorbeträge sind von den Zahlenwerten her dasselbe wie die Längen der Vektoren. Von dem ganzen Quotienten (Bruch, geteilt) bildet man dann den Arcuscosinus. Das kann man kurz auch als Formel schreiben.
Formel
- α = arccos [(a·b)/(|a|·|b|)]
Legende
- α = der gesuchte Winkel zwischen den Vektoren a und b
- a·b = von den zwei Vektoren a und b das 👉 Skalarprodukt
- |a| = vom Vektor a die Länge, auch Betrag genannt 👉 Vektorbetrag
- |b| = vom Vektor b die Länge, auch Betrag genannt 👉 Vektorbetrag
- || = die zwei 👉 Betragsstriche [als Rechensymbol]
- / = ein 👉 Geteiltzeichen
- · = ein 👉 Malzeichen
- () = 👉 runde Klammer
- [] = 👉 eckige Klammer
Der Arkuscosinus, heißt auf Taschenrechnern auch oft "Cosinus hoch minus eins". Das ist sozusagen der Cosinus rückwärts: man gibt dem Taschenrechner eine Zahl und er liefert einen Winkel zurück. Dieser Winkel am Ende der Rechnung ist dann auch gleich dem Winkel zwischen den zwei anfänglich gegebenen Vektoren. Siehe dazu auch den Artiekl zum 👉 Winkel über Skalarprodukt